Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=

1

2

，a_n+1=-

1

2n+1

(n∈N*)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=na_n，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，試比較T_n與

3n

2n+1

的大小，并予以證明．

Answer 1

分析：（1）依題意，當(dāng)n≥2時(shí)，由a_n=a₁+（a₂-a₁）（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=

1

2

+（-

1

22

）+（-

1

23

）+…+（-

1

2n

）可求得a_n=

1

2n

（n≥2），驗(yàn)證n=1時(shí)是否符合該式，從而可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）依題意，T_n=

1

21

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，利用錯(cuò)位相減法可求得T_n=2-

n+2

2n

，作差T_n-

3n

2n+1

，再整理得T_n-

3n

2n+1

=

(n+2)(2n-2n-1)

(2n+1)2n

，確定T_n與

3n

2n+1

的大小關(guān)系等價(jià)于比較2ⁿ與2n+1的大小，先判斷，再猜想與證明即可．

解答：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=a₁+（a₂-a₁）（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=

1

2

+（-

1

22

）+（-

1

23

）+…+（-

1

2n

）
=

1

2

-（

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

）
=

1

2

-

1 4 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

=

1

2n

．
又a₁=

1

2

也適合上式，所以a_n=

1

2n

（n∈N^*）．
（2）由（1）得a_n=

1

2n

，所以b_n=na_n=

n

2n

．
因?yàn)門_n=

1

21

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

①，
所以

1

2

T_n=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

，②．
由①-②得，

1

2

T_n=

1

21

+

1

22

+…+

1

2n-1

+

1

2n

-

n

2n+1

，
所以T_n=1+

1

21

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=2-

n+2

2n

．
因?yàn)門_n-

3n

2n+1

=（2-

3n

2n+1

）-

n+2

2n

=

n+2

2n+1

-

n+2

2n

=

(n+2)(2n-2n-1)

(2n+1)2n

，
所以確定T_n與

3n

2n+1

的大小關(guān)系等價(jià)于比較2ⁿ與2n+1的大小．
當(dāng)n=1時(shí)，2¹＜2×1+1；當(dāng)n=2時(shí)，2²＜2×2+1；
當(dāng)n=3時(shí)，2³＞2×3+1；
當(dāng)n=4時(shí)，2⁴＞2×4+1；
…，
可猜想當(dāng)n≥3時(shí)，2ⁿ＞2n+1．
證明如下：當(dāng)n≥3時(shí)，2ⁿ=（1+1）ⁿ=

C

0 n

+

C

1 n

+…+

C

n-1 n

+

C

n n

≥

C

0 n

+

C

1 n

+

C

n-1 n

+

C

n n

=2n+2＞2n+1．
綜上所述，當(dāng)n=1或n=2時(shí)，T_n＜

3n

2n+1

；當(dāng)n≥3時(shí)，T_n＞

3n

2n+1

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查分析法與綜合法及二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用，屬于難題．