Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx﹣a（x﹣1），g（x）=ex ．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a≠0時(shí)，過(guò)原點(diǎn)分別作曲線y=f（x）與y=g（x）的切線l1 ， l2 ， 已知兩切線的斜率互為倒數(shù)，證明： ＜a＜ ；
（3）設(shè)h（x）=f（x+1）+g（x），當(dāng)x≥0，h（x）≥1時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），對(duì)f（x）求導(dǎo)，得 ．

①若a≤0，對(duì)一切x＞0有f'（x）＞0，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞）．

②若a＞0，當(dāng) 時(shí)，f'（x）＞0；當(dāng) 時(shí)，f'（x）＜0．

所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是 ，單調(diào)遞減區(qū)間是

（2）解：設(shè)切線l2的方程為y=k2x，切點(diǎn)為（x2，y2），則 ， ，

所以x2=1，y2=e，則 ．

由題意知，切線l1的斜率為 ，l1的方程為 ．

設(shè)l1與曲線y=f（x）的切點(diǎn)為（x1，y1），則 ，

所以 ， ．

又因?yàn)閥1=lnx1﹣a（x1﹣1），消去y1和a后，整理得 ． （6分）

令 ，則 ，m（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增．

若x1∈（0，1），因?yàn)? ， ，所以 ，

而 在 上單調(diào)遞減，所以 ．

若x1∈（1，+∞），因?yàn)閙（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，且m（e）=0，則x1=e，

所以 （舍去）．

綜上可知，

（3）解：證明：h（x）=f（x+1）+g（x）=ln（x+1）﹣ax+ex， ．

①當(dāng)a≤2時(shí)，因?yàn)閑x≥x+1，所以 ，h（x）在[0，+∞）上遞增，h（x）≥h（0）=1恒成立，符合題意．

②當(dāng)a＞2時(shí)，因?yàn)? ，所以h′（x）在[0，+∞）上遞增，且h′（0）=2﹣a＜0，則存在x0∈（0，+∞），使得h′（0）=0．

所以h（x）在（0，x0）上遞減，在（x0，+∞）上遞增，又h（x0）＜h（0）=1，所以h（x）≥1不恒成立，不合題意．綜合①②可知，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，2]

【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，注意對(duì)參數(shù)a的分類討論；（2）背景為指數(shù)函數(shù)y=ex與對(duì)數(shù)函數(shù)y=lnx關(guān)于直線y=x對(duì)稱的特征，得到過(guò)原點(diǎn)的切線也關(guān)于直線y=x對(duì)稱，主要考查利用導(dǎo)函數(shù)研究曲線的切線及結(jié)合方程有解零點(diǎn)存在定理的應(yīng)該用求參數(shù)的問(wèn)題，得到不等式的證明；（3）考查利用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)的最值和不等式的恒成立求參數(shù)的范圍問(wèn)題，求導(dǎo)過(guò)程中用到了課后習(xí)題ex≥x+1這個(gè)結(jié)論，考查學(xué)生對(duì)課本知識(shí)的掌握程度．