【題目】如圖,已知四邊形和均為平行四邊形,點(diǎn)在平面內(nèi)的射影恰好為點(diǎn),以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),,的中點(diǎn)為,的中點(diǎn)為,且.
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)證明見(jiàn)解析;(Ⅱ).
【解析】
試題分析: (Ⅰ)推導(dǎo)出平面,從而平面平面,從而,再求出,從而平面 ,由此能證明平面平面.(Ⅱ)以為原點(diǎn),為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角的余弦值.
試題解析:
(Ⅰ)∵點(diǎn)在平面內(nèi)的射影恰好為點(diǎn),∴平面,
又平面,∴平面平面.
又以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),,,∴為正方形.
又平面平面,∴平面.
∵平面,,
又,∴,
又的中點(diǎn)為,∴,
∵,∴,
又平面,平面,,∴平面.
又平面,∴平面平面.
(Ⅱ)如圖,建立以為原點(diǎn),的方向?yàn)?/span>軸的正方向,的方向?yàn)?/span>軸的正方向,的方向?yàn)?/span>軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系,
設(shè),則,,,.
∵的中點(diǎn)為,∴,
故,,
設(shè)平面的法向量為,則∴
令,則.
易知平面的一個(gè)法向量為,
設(shè)二面角為,
∴,
容易看出二面角為銳角,故二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù) .
(1)若曲線在處切線的斜率為,求此切線方程;
(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn),求的取值范圍,并證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓C:的離心率,橢圓C上的點(diǎn)到其左焦點(diǎn)的最大距離為.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)A作直線與橢圓相交于點(diǎn)B,則軸上是否存在點(diǎn)P,使得線段,且?若存在,求出點(diǎn)P坐標(biāo);否則請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一所學(xué)校計(jì)劃舉辦“國(guó)學(xué)”系列講座.由于條件限制,按男、女生比例采用分層抽樣的方法,從某班選出10人參加活動(dòng).在活動(dòng)前對(duì)所選的10名同學(xué)進(jìn)行了國(guó)學(xué)素養(yǎng)測(cè)試,這10名同學(xué)的性別和測(cè)試成績(jī)(百分制)的莖葉圖如圖.
(1)根據(jù)這10名同學(xué)的測(cè)試成績(jī),估計(jì)該班男、女生國(guó)學(xué)素養(yǎng)測(cè)試的平均成績(jī);
(2)若成績(jī)大于等于75分為優(yōu)良,從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取2名男生,2名女生,求這4名同學(xué)的國(guó)學(xué)素養(yǎng)測(cè)試成績(jī)均為優(yōu)良的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)-x.
⑴求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
⑵若,證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),極軸為軸的正半軸,兩種坐標(biāo)系中的長(zhǎng)度單位相同,圓的直角坐標(biāo)方程為,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),射線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求圓和直線的極坐標(biāo)方程;
(2)已知射線與圓的交點(diǎn)為,與直線的交點(diǎn)為,求線段的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】棋盤(pán)上標(biāo)有第0、1、2...100站,棋子開(kāi)始位于第0站,棋手拋擲均勻硬幣走跳棋游戲,若擲出正面,棋子向前跳出一站;若擲出反面,棋子向前跳出兩站,直到跳到第99站或第100站時(shí),游戲結(jié)束.設(shè)棋子位于第n站的概率為,設(shè).則下列結(jié)論正確的有( )
①;;
②數(shù)列()是公比為的等比數(shù)列;
③;
④.
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在四棱錐中,,,和都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,設(shè)在底面的射影為.
(1)求證:是中點(diǎn);
(2)證明:;
(3)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,是實(shí)數(shù).
(Ⅰ)若在處取得極值,求的值;
(Ⅱ)若在區(qū)間為增函數(shù),求的取值范圍;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍.
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