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【題目】閱讀下面材料,完成(1)-(3).

數(shù)學(xué)課上,老師出示了這樣一道題:

如圖,ABC中,DBC中點,且AD=AC,MAD中點,連結(jié)CM并延長交ABN.

探究線段AN、MN、CN之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.

同學(xué)們經(jīng)過思考后,交流了自已的想法:

小明:通過觀察和度量,發(fā)現(xiàn)線段AN、AB之間存在某種數(shù)量關(guān)系.”

小強:通過倍長不同的中線,可以得到不同的結(jié)論,但都是正確的,大家就大膽的探究吧.”

小偉:通過構(gòu)造、證明相似三角形、全等三角形,就可以將問題解決.”

......

老師: “若其他條件不變,設(shè)AB=a,則可以用含a的式子表示出線段CM的長.”

1)探究線段AN、AB之間的數(shù)量關(guān)系,并證明;

2)探究線段AN、MN、CN之間的數(shù)量關(guān)系,并證明;

3)設(shè)AB=a,求線段CM的長(用含a的式子表示).

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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線x軸、y軸分別交于A、B兩點,點P從點A出發(fā),沿折線ABBO向終點O運動,在AB上以每秒5個單位長度的速度運動,在BO上以每秒3個單位長度的速度運動;Q從點O出發(fā),沿OA方向以每秒個單位長度的速度運動.P,Q兩點同時出發(fā),當(dāng)點P停止時,點Q也隨之停止.過點PPEAO于點E,以PE,EQ為鄰邊作矩形PEQF,設(shè)矩形PEQFABO重疊部分圖形的面積為S,P運動的時間為t.

(1)連結(jié)PQ,當(dāng)PQABO的一邊平行時,求t的值;

(2)St之間的函數(shù)關(guān)系式,并直接寫出自變量t的取值范圍.

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【題目】如圖,PB與⊙O相切于點B,過點BOP的垂線BA,垂足為C,交⊙O于點A,連結(jié)PA,AO,AO的延長線交⊙O于點E,與PB的延長線交于點D.

1)求證:PA是⊙O的切線;

2)若tanBAD=, OC=4,求PB的長.

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【題目】已知拋物線y=x2+mx+m2的頂點為A,且經(jīng)過點(3,﹣3.

1)求拋物線的解析式及頂點A的坐標(biāo);

2)將原拋物線沿射線OA方向進行平移得到新的拋物線,新拋物線與射線OA交于C,D兩點,如圖,請問:在拋物線平移的過程中,線段CD的長度是否為定值?若是,請求出這個定值;若不是,請說明理由.

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【題目】如圖,ABC的頂點坐標(biāo)分別為A(0,1)、B(3,3)、C(1,3).

(1) 畫出ABC關(guān)于點O的中心對稱圖形A1B1C1

(2) 畫出ABC繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°A2B2C2,直接寫出點C2的坐標(biāo)為______.

(3) ABC內(nèi)一點P(m,n)繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°的對應(yīng)點為Q,則Q的坐標(biāo)為______.

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【題目】小明和小亮利用三張卡片做游戲,卡片上分別寫有A,B,B.這些卡片除字母外完全相同,從中隨機摸出一張,記下字母后放回,充分洗勻后,再從中摸出一張,如果兩次摸到卡片字母相同則小明勝,否則小亮勝,這個游戲?qū)﹄p方公平嗎?請說明現(xiàn)由.

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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點O是邊長為2的正方形ABCD的中心.函數(shù)y=(xh2的圖象與正方形ABCD有公共點,則h的取值范圍是_____

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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形 OABC 為菱形,點 C 的坐標(biāo)為(4,0),∠AOC = 60°,垂直于 x 軸的直線 l y 軸出發(fā),沿 x 軸正方向以每秒 1 個單位長度的速度運動,設(shè)直線 l 菱形 OABC 的兩邊分別交與點 M、N(點 M 在點 N 的上方).

1)求 A、B 兩點的坐標(biāo);

2)設(shè) OMN 的面積為 S,直線 l 運動時間為 t 秒(0 ≤t ≤6 ),試求 S t 的函數(shù)表達 式;

3)在題(2)的條件下,t 為何值時,S 的面積最大?最大面積是多少.

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【題目】某同學(xué)在研究二次函數(shù)及其圖像性質(zhì)的問題時,發(fā)現(xiàn)了兩個重要結(jié)論:

①拋物線 y = ax 2 2x + 3a ≠0) ,不論 a 為何值時,它的頂點都在某條直線上;

②拋物線 y = ax 2 2x + 3a ≠0),其頂點的橫坐標(biāo)減少,縱坐標(biāo)增加得到A點,若把頂點的橫坐標(biāo)增加,縱坐標(biāo)增加,得到B點,則A,B兩點一定在拋物線y = ax 2 2x + 3上.

1)請你幫忙求出拋物線 y = ax 2 2x + 3的頂點所在直線的解析式,并證明結(jié)論②是正確的;

2)問題(1)中的直線上有一個點不是該拋物線的頂點,你能找出它來嗎,并說明理由;

3)你能把結(jié)論①或②(選擇其中之一)推廣到一般情況嗎,請用數(shù)學(xué)語言表述你的成 果,并給予嚴(yán)格的證明.

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【題目】已知:如圖,四邊形 ABCD 內(nèi)接于⊙ O ,AC BD 相交于E , BC = CD = 4 , AE = 6 ,且 BE DE 的長是正整數(shù),求 BD 長.

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