Question

【題目】已知矩形ABCD，其中AD＞AB，依題意先畫出圖形，然后解答問題．

（1）F為DC邊上一點，把△ADF沿AF折疊，使點D恰好落在BC上的點E處．在圖1中先畫出點E，再畫出點F，若AB＝8，AD＝10，直接寫出EF的長為　 　；

（2）把△ADC沿對角線AC折疊，點D落在點E處，在圖2先畫出點E，AE交CB于點F，連接BE．求證：△BEF是等腰三角形．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）見解析

【解析】

（1）在BC上截取AE＝AD得點E，作AF垂直DE交CD于點F（或作∠AED的平分線AF交CD于點F，或作EF垂直AE交CD于點F等等）；

（2）作DH垂直AC于點H，延長DH至點E，使HE＝DH．方法一證明△ABE≌△CEB（SSS）．方法二證明FA＝FC即可解決問題．

（1）如圖1，以A為圓心，AD長為半徑作弧交BC于點E，作AF垂直DE交CD于點F，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝90°，

在Rt△ABE中，BE，

∴EC＝10﹣6＝4，

根據(jù)折疊的性質(zhì)知：EF＝DF，

設EF＝DF＝x，則，

在Rt△EFC中，則有x2＝（8﹣x）2+42，

解得 ：x＝5，

∴EF＝5．

故答案為：5；

（2）證明：如圖2，作DH垂直AC于點H，延長DH至點E，使HE＝DH．

方法1：根據(jù)折疊的性質(zhì)知：△ADC≌△AEC，

∴AD＝AE＝BC，AB＝DC＝EC，

在△ABE與△CEB中，，

∴△ABE≌△CEB（SSS），

∴∠AEB＝∠CBE，

∴BF＝EF，

∴△BEF是等腰三角形．

方法2：根據(jù)折疊的性質(zhì)知：△ADC≌△AEC，

∴AD＝AE＝BC，∠DAC＝∠EAC，

又∴AD∥BC，

∴∠DAC＝∠ACB，

∴∠EAC＝∠ACB，

∴FA＝FC，

∴FE＝FB，

∴△BEF是等腰三角形．