【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+3交x軸于A、B兩點(diǎn)(A在B左邊),交y軸于C點(diǎn),且OC=3OA,對(duì)稱(chēng)軸x=1交拋物線于D點(diǎn).

(1)求拋物線解析式;

(2)在直線BC上方的拋物線上找點(diǎn)E使SBCD=SBCE,求E點(diǎn)的坐標(biāo);

(3)在x軸上方的拋物線上,是否存在點(diǎn)M,過(guò)M作MNx軸于N點(diǎn),使BMNBCD相似?若存在,請(qǐng)求出M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)y=﹣x2+2x+3.2)E(2,3).(3)存在,存在點(diǎn)M(2,3)或(﹣,),使BMNBCD相似.

【解析】

試題分析:(1)將x=0代入可求得y=3,故此可知C(0,3),OC=3,OA=1,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣1,0),由點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x=1對(duì)稱(chēng)可知B(3,0),將點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式,從而可求得a=﹣1,b=2;

(2)過(guò)D點(diǎn)作DEBC交拋物線y=﹣x2+2x+3于E點(diǎn),由BCDBCE是同底等高的三角形可知SBCD=SBCE,設(shè)直線DE的解析式為y=﹣x+b,將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入可求得直線DE的解析式,然后與拋物線的解析式聯(lián)立可求得點(diǎn)E的坐標(biāo);

(3)由兩點(diǎn)間的而距離公式可知:BC=3,CD=,設(shè)M(x,y),則MN=y=﹣x2+2x+3,BN=3﹣x,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出關(guān)于x的方程,從而可求得點(diǎn)M的坐標(biāo).

解:(1)將x=0代入得y=3,

C(0,3).

OC=3OA

OA=1

A(﹣1,0).

點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x=1對(duì)稱(chēng),

B(3,0).

將A(﹣1,0),B(3,0)代入y=ax2+bx+3得:

解得:

拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3.

(2)將x=1代入拋物線的解析式得:y=﹣1+2+3=4,

D(1,4).

如圖1,過(guò)D點(diǎn)作DEBC交拋物線y=﹣x2+2x+3于E點(diǎn).

設(shè)直線DE的解析式為y=﹣x+b,

將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入得:﹣1+b=4,解得:b=5,則直線DE的解析式為y=﹣x+5.

將y=﹣x+5與y=﹣x2+2x+3聯(lián)立得:,

解得:(舍去),

E(2,3).

(3)存在.

由兩點(diǎn)間的而距離公式可知:BC=3,CD==

設(shè)M(x,y),則MN=y=﹣x2+2x+3,BN=3﹣x.

①如圖2所示:

當(dāng)BMN∽△DBC時(shí),,

解得:x1=2,x2=3(舍去).

當(dāng)x=2時(shí),y=3,

M(2,3).

②如圖3所示:

當(dāng)BMN∽△BDC時(shí),,

解得:x1=﹣,x2=3(舍去).

當(dāng)x=﹣時(shí),y=,

M(﹣,

綜上,存在點(diǎn)M(2,3)或(﹣,),使BMNBCD相似.

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(2)小球的落點(diǎn)是A,求點(diǎn)A的坐標(biāo);

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