Question

已知（如圖）拋物線y=ax²-2ax+3（a＜0），交x軸于點A和點B，交y 軸于點C，頂點為D，點E在拋物線上，連接CE、AC，CE∥x軸，且CE：AC=2：．
（1）直接寫出拋物線的對稱軸和點A的坐標；
（2）求此拋物線的解析式；
（3）連接AE，點P為線段AE上的一個動點，過點P作PF∥y軸交拋物線于點F，設(shè)點P 的橫坐標為m，求當m為何值時△AEF的面積最大，最大值為多少？
（4）點C是否在以BD為直徑的圓上？請說明理由．

Answer 1

解：（1）拋物線的對稱軸為直線x=-=1，
∵CE∥x軸，
∴CE=2×1=2，
∵CE：AC=2：，
∴AC=，
令x=0，則y=3，
∴點C的坐標是（0，3），
∴OC=3，
根據(jù)勾股定理，OA===1，
所以，點A的坐標是（-1，0）；

（2）把點A坐標代入拋物線y=ax²-2ax+3得，a（-1）²-2a×（-1）+3=0，
解得a=-1，
所以，拋物線解析式為y=-x²+2x+3；

（3）∵C（0，3），CE∥x軸，對稱軸為直線x=1，
∴點E的坐標為（2，3），
設(shè)直線AE解析式為y=kx+b，
則，
解得，
所以，直線AE的解析式為y=x+1，
∵點P的橫坐標是m，
∴PF=（-m²+2m+3）-（m+1）=-m²+m+2，
∴S_△AEF=S_△APF+S_△PEF，
=（-m²+m+2）×（m+1）+（-m²+m+2）×（3-m），
=-2m²+2m+4，
=-2（m-）²+，
所以，當m=時，△AEF的面積最大，最大值為；

（4）點C在以BD為直徑的圓上．
理由如下：點D作DG⊥y軸于G，
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴頂點D（1，4），
又∵點C（0，3），
∴CG=DG=1，
∴∠1=45°，
令y=0，則-x²+2x+3=0，即x²-2x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴點B坐標為（3，0），
∴OC=OB=3，
∴∠2=45°，
∴∠BCD=180°-∠1-∠2=180°-45°-45°=90°，
∴點C在以BD為直徑的圓上．
分析：（1）根據(jù)拋物線對稱軸公式求解即可；根據(jù)拋物線的對稱性求出CE的長度，從而得到AC的長，再求出點C的坐標，然后利用勾股定理列式求出OA的長度，即可得到點A的坐標；
（2）把點A的坐標代入拋物線解析式計算求出a的值，即可得到拋物線解析式；
（3）根據(jù)點C的坐標以及CE的長度求出點E的坐標，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式得到直線AE的解析式，然后表示出PE的長度，再根據(jù)S_△AEF=S_△APF+S_△PEF，列式整理即可得到△AEF的面積與m的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求解；
（4）過點D作DG⊥y軸于G，根據(jù)點C、D的坐標可得∠1=45°，再根據(jù)拋物線解析式求出點B的坐標，然后求出∠2=45°，從而得到∠BCD=90°，最后根據(jù)直徑所對的圓周角是直角即可判定點C在以BD為直徑的圓上．
點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了拋物線的對稱軸的求解，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析，二次函數(shù)的最值問題，以及直徑所對的圓周角是直角的性質(zhì)，綜合性較強，但難度不大，仔細分析便不難求解．