已知，如圖，拋物線y=ax2-2ax+c（a≠0）與y軸交于點(diǎn)C（0，4），與x軸交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)M在拋物線上，且△ABC與△ABM的面積相等，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)Q是線段AB上的動點(diǎn)，過點(diǎn)Q作QE∥AC，交BC于點(diǎn)E，連接CQ．當(dāng)△CQE的面積最大時，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（4）若平行于x軸的動直線l與線段AC交于點(diǎn)F，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0）．問：是否存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，請求出直線l的解析式；若不存在，請說明理由．
分析：（1）根據(jù)A，C兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；
（2）根據(jù)△ABC與△ABM的面積相等，得出M的縱坐標(biāo)為：±4，進(jìn)而得出x的值即可；
（3）利用相似三角形的性質(zhì)得出S△CQE=
1
2
x×4-
1
3
x2=-
1
3
x2+2x，進(jìn)而求出即可；
（4）利用圖象以及等腰三角形的性質(zhì)假設(shè)若DO=DF時以及當(dāng)FO=FD和當(dāng)DF=OD時分別得出F點(diǎn)的坐標(biāo)，將縱坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式即可求出P點(diǎn)坐標(biāo)．
解答：解：（1）∵點(diǎn)C（0，4），
∴c=4，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），
∴0=16a-8a+4，
∴a=-
1
2
，
∴y=-
1
2
x2+x+4；

（2）∵△ABC與△ABM的面積相等，
C點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，4），
∴M的縱坐標(biāo)為：±4，
∴4=-
1
2
x2+x+4；
解得：x 1=0，x 2=2，
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為：（2，4），
當(dāng)-4=-
1
2
x2+x+4；
解得：x 1=1+
17
，x 2=1-
17
，
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為：（1+
17
，-4）或（1-
17
，-4），
∴綜上所述：M點(diǎn)的坐標(biāo)為：（2，4）、（1+
17
，-4）或（1-
17
，-4）；

（3）∵B（-2，0，），AB=6，
S△ABC=
1
2
×6×4=12，
設(shè)BQ=x，
∵EQ∥AC，
∴△BEQ∽△BCA，
∴（
BQ
AB
）2=
S△BEQ
S△ABC
=（
x
6
）2，
∴S△BEQ=
x2
36
×12=
1
3
x2，
∴S△CQE=
1
2
x×4-
1
3
x2=-
1
3
x2+2x，
當(dāng)x=-
b
2a
=
2
2×
1
3
=3時，S△CQE面積最大，
∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）；

（4）存在，
在△ODF中，
①若DO=DF，∵A（4，0），D（2，0），
∴AD=OD=DF=2，
又在Rt△AOC中，OA=OC=4，
∴∠OAC=45°，
∴∠DFA=∠OAC=45°，
∴∠ADF=90°，此時，點(diǎn)F的坐標(biāo)為：（2，2），
由-
1
2
x2+x+4=2，
解得：x1=1+
5
，x2=1-
5
，
此時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P（1+
5
，2）或P（1-
5
，2）；
②若FO=FD，過點(diǎn)F作FM⊥x軸于點(diǎn)M，
由等腰三角形的性質(zhì)得出：
OM=
1
2
OD=1，
∴AM=3，
∴在等腰三角形△AMF中，MF=MA=3，
∴F（1，3），
由-
1
2
x2+x+4=3，
解得：x1=1+
3
，x2=1-
3
，
此時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P（1+
3
，3）或P（1-
3
，3）；
③若OD=OF，∵OA=OC=4，且∠AOC=90°，
∴AC=4
2
，
∴點(diǎn)O到AC的距離為2
2
，而OF=OD=2＜2
2
，
∴此時，不存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形．
綜上所述：存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形，所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為：
P（1+
5
，2）或P（1-
5
，2）或P（1+
3
，3）或P（1-
3
，3）．
點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用和相似三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出（
BQ
AB
）2=
S△BEQ
S△ABC
=（
x
6
）2是解題關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知：如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)分別為-1和3，精英家教網(wǎng)與y軸交點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為3，△ABC的外接圓的圓心為點(diǎn)M．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）求圖象經(jīng)過M、A兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式；
（3）在（1）中的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使過P、M兩點(diǎn)的直線與△ABC的兩邊AB、BC的交點(diǎn)E、F和點(diǎn)B所組成的△BEF和△ABC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知：如圖，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D，與y軸相交于點(diǎn)A，直線y=ax+3與y軸也交于點(diǎn)A，矩形ABCO的頂點(diǎn)B在精英家教網(wǎng)此拋物線上，矩形面積為12，
（1）求該拋物線的對稱軸；
（2）⊙P是經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的一個動圓，當(dāng)⊙P與y軸相交，且在y軸上兩交點(diǎn)的距離為4時，求圓心P的坐標(biāo)；
（3）若線段DO與AB交于點(diǎn)E，以點(diǎn)D、A、E為頂點(diǎn)的三角形是否有可能與以點(diǎn)D、O、A為頂點(diǎn)的三角形相似，如果有可能，請求出點(diǎn)D坐標(biāo)及拋物線解析式；如果不可能，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•寧化縣質(zhì)檢）已知：如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（1-
3
，0）和點(diǎn)B，將拋物線沿x軸向上翻折，頂點(diǎn)P落在點(diǎn)P′（1，3）處．
（1）求原拋物線的解析式；
（2）在原拋物線上，是否存在一點(diǎn)，與它關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)也在該拋物線上？若存在，求滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
（3）學(xué)校舉行班徽設(shè)計比賽，九年級（5）班的小明在解答此題時頓生靈感：過點(diǎn)P′作x軸的平行線交拋物線于C、D兩點(diǎn)，將翻折后得到的新圖象在直線CD以上的部分去掉，設(shè)計成一個“W”型的班徽，“5”的拼音開頭字母為W，“W”圖案似大鵬展翅，寓意深遠(yuǎn)；而且小明通過計算驚奇的發(fā)現(xiàn)這個“W”圖案的高與寬（CD）的比非常接近黃金分割比
5
-1
2
（約等于0.618）．請你計算這個“W”圖案的高與寬的比到底是多少？（參考數(shù)據(jù)：
5
≈2.236，
6
≈2.449，結(jié)果精確到0.001）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知，如圖，拋物線y=x2+px+q與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OA≠OB，OA=OC，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)P，直線PC與x軸的交點(diǎn)D恰好與點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱．
（1）求p、q的值．
（2）在題中的拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得四邊形PAQD恰好為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（3）連接PA、AC．問：在直線PC上，是否存在這樣點(diǎn)E（不與點(diǎn)C重合），使得以P、A、E為頂點(diǎn)的三角形與△PAC相似？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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同步練習(xí)冊答案