已知:如圖,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn),它們的橫坐標(biāo)分別為-1和3,精英家教網(wǎng)與y軸交點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為3,△ABC的外接圓的圓心為點(diǎn)M.
(1)求這條拋物線的解析式;
(2)求圖象經(jīng)過M、A兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式;
(3)在(1)中的拋物線上是否存在點(diǎn)P,使過P、M兩點(diǎn)的直線與△ABC的兩邊AB、BC的交點(diǎn)E、F和點(diǎn)B所組成的△BEF和△ABC相似?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
分析:(1)根據(jù)題意即可得出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo),可通過待定系數(shù)法求出拋物線的解析式.
(2)本題的關(guān)鍵是求出M點(diǎn)的坐標(biāo),可如果設(shè)圓M與y軸的另一交點(diǎn)為D,那么可根據(jù)相交弦定理求出OD的長,進(jìn)而可求出M點(diǎn)的縱坐標(biāo),同理可求出M的橫坐標(biāo),得出M的坐標(biāo)后可用待定系數(shù)法求出直線MA的解析式.
(3)本題要分情況進(jìn)行討論:
①當(dāng)EF∥CA時(shí),△ABC∽△EBF,可根據(jù)兩直線平行得出直線EF的斜率與直線AC的相同,然后根據(jù)直線EF過M點(diǎn),即可求出直線EF的解析式,然后聯(lián)立拋物線即可求出它們的交點(diǎn)P的坐標(biāo).
②當(dāng)∠BFE=∠A時(shí),△ABC∽△FBE,思路同①,可通過構(gòu)建相似三角形來求E點(diǎn)的坐標(biāo)以得出直線EF的解析式.可過A作AG⊥BC于G,過M作MH⊥AB于H,那么通過相似三角形AGC和MHE可求出E點(diǎn)的坐標(biāo),然后同①的方法進(jìn)行求解即可.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)由題意可知:A(-1,0),B(3,0),C(0,3)
可得拋物線的解析式為y=-x2+2x+3

(2)設(shè)y軸于圓M的另一交點(diǎn)為D,根據(jù)相交弦定理可得出OD=OA•OB÷OC=1
由此可求得M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1
同理可求出M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1
∴M的坐標(biāo)為(1,1)
設(shè)過A、M點(diǎn)的直線解析式為y=kx+b,有
k+b=1,-k+b=0
∴k=
1
2
,b=
1
2

直線解析式為:y=
1
2
x+
1
2


(3)在(1)中的拋物線上存在點(diǎn)P
使△BEF與△ABC相似.
①若△BEF∽△ABC,則EF∥AC
∵直線AC為:y=3x+3
∴設(shè)直線EF為:y=3x+b1過m(1,1)
∴直線EF為:y=3x-2
點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足y=3x-2,y=-x2+2x+3
解之x1=-
1
2
+
21
2
,x2=-
1
2
-
21
2

y1=-
7
2
+
3
21
2
,y2=-
7
2
-
3
21
2

所以P1(-
1
2
+
21
2
,-
7
2
+
3
21
2
),P2(-
1
2
-
21
2
,-
7
2
-
3
21
2

②若△BEF∽△ABC,則∠ACG=∠MEH
過點(diǎn)A作AG⊥BC于G,有∠AGC=∠MEH
∴△ACG∽△MEH
其中AC=
10
,CG=
2
,AG=2
2
,MH=1
∵AG:CG=MH:HE,即2
2
2
=1:HE
∴HE=
1
2
,E的坐標(biāo)為(
1
2
,0)
直線EM解析式為:y=2x-1
同理可得:P3(2,3),P4(-2,-5)
綜上所述:P1(-
1
2
+
21
2
,-
7
2
+
3
21
2
),P2(-
1
2
-
21
2
,-
7
2
-
3
21
2
),P3(2,3),P4(-2,-5).
點(diǎn)評(píng):本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、函數(shù)圖象的交點(diǎn)、相似三角形的判定和性質(zhì)等重要知識(shí)點(diǎn),綜合性強(qiáng),考查學(xué)生分類討論,數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.
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相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知:如圖,拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D,與y軸相交于點(diǎn)A,直線y=ax+3與y軸也交于點(diǎn)A,矩形ABCO的頂點(diǎn)B在精英家教網(wǎng)此拋物線上,矩形面積為12,
(1)求該拋物線的對(duì)稱軸;
(2)⊙P是經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)圓,當(dāng)⊙P與y軸相交,且在y軸上兩交點(diǎn)的距離為4時(shí),求圓心P的坐標(biāo);
(3)若線段DO與AB交于點(diǎn)E,以點(diǎn)D、A、E為頂點(diǎn)的三角形是否有可能與以點(diǎn)D、O、A為頂點(diǎn)的三角形相似,如果有可能,請(qǐng)求出點(diǎn)D坐標(biāo)及拋物線解析式;如果不可能,請(qǐng)說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•寧化縣質(zhì)檢)已知:如圖,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(1-
3
,0)和點(diǎn)B,將拋物線沿x軸向上翻折,頂點(diǎn)P落在點(diǎn)P′(1,3)處.
(1)求原拋物線的解析式;
(2)在原拋物線上,是否存在一點(diǎn),與它關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)也在該拋物線上?若存在,求滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
(3)學(xué)校舉行班徽設(shè)計(jì)比賽,九年級(jí)(5)班的小明在解答此題時(shí)頓生靈感:過點(diǎn)P′作x軸的平行線交拋物線于C、D兩點(diǎn),將翻折后得到的新圖象在直線CD以上的部分去掉,設(shè)計(jì)成一個(gè)“W”型的班徽,“5”的拼音開頭字母為W,“W”圖案似大鵬展翅,寓意深遠(yuǎn);而且小明通過計(jì)算驚奇的發(fā)現(xiàn)這個(gè)“W”圖案的高與寬(CD)的比非常接近黃金分割比
5
-1
2
(約等于0.618).請(qǐng)你計(jì)算這個(gè)“W”圖案的高與寬的比到底是多少?(參考數(shù)據(jù):
5
≈2.236
6
≈2.449
,結(jié)果精確到0.001)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知,如圖,拋物線y=ax2-2ax+c(a≠0)與y軸交于點(diǎn)C(0,4),與x軸交于點(diǎn)A,B,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,0).
(1)求該拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn)M在拋物線上,且△ABC與△ABM的面積相等,直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)點(diǎn)Q是線段AB上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)Q作QE∥AC,交BC于點(diǎn)E,連接CQ.當(dāng)△CQE的面積最大時(shí),求點(diǎn)Q的坐標(biāo);
(4)若平行于x軸的動(dòng)直線l與線段AC交于點(diǎn)F,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,0).問:是否存在這樣的直線l,使得△ODF是等腰三角形?若存在,請(qǐng)求出直線l的解析式;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知,如圖,拋物線y=x2+px+q與x軸相交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,且OA≠OB,OA=OC,設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)P,直線PC與x軸的交點(diǎn)D恰好與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱.
(1)求p、q的值.
(2)在題中的拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)Q,使得四邊形PAQD恰好為平行四邊形?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
(3)連接PA、AC.問:在直線PC上,是否存在這樣點(diǎn)E(不與點(diǎn)C重合),使得以P、A、E為頂點(diǎn)的三角形與△PAC相似?若存在,求出點(diǎn)E的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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