【題目】如圖,已知AB是⊙O的直徑,銳角∠DAB的平分線AC交⊙O于點(diǎn)C,作CD⊥AD,垂足為D,直線CD與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E.

(1)求證:直線CD為⊙O的切線;
(2)當(dāng)AB=2BE,且CE= 時(shí),求AD的長(zhǎng).

【答案】
(1)證明:如圖,連接OC,

∵AC平分∠DAB,

∴∠DAC=∠CAB,

∵OA=OC,

∴∠OCA=∠CAB,

∴∠OCA=∠DAC,

∴AD∥CO,

∵CD⊥AD,

∴OC⊥CD,

∵OC是⊙O直徑且C在半徑外端,

∴CD為⊙O的切線;


(2)解:∵AB=2BO,AB=2BE,

∴BO=BE=CO,

設(shè)BO=BE=CO=x,

∴OE=2x,

在Rt△OCE中,

根據(jù)勾股定理得:OC2+CE2=OE2,即x2+( 2=(2x)2

∴x=1,

∴AE=3,∠E=30°,

∴AD=


【解析】(1)如圖,連接OC,由AC平分∠DAB得到∠DAC=∠CAB,然后利用等腰三角形的性質(zhì)得到∠OCA=∠CAB,接著利用平行線的判定得到AD∥CO,而CD⊥AD,由此得到CD⊥AD,最后利用切線的判定定理即可證明CD為⊙O的切線;(2)由AB=2BO,AB=2BE得到BO=BE=CO,設(shè)BO=BE=CO=x,所以O(shè)E=2x,在Rt△OCE中,利用勾股定理列出關(guān)于x的方程,解方程求出x,最后利用三角函數(shù)的定義即可求解.
【考點(diǎn)精析】利用勾股定理的概念對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,點(diǎn)O是矩形ABCD的中心,E是AB上的點(diǎn),沿CE折疊后,點(diǎn)B恰好與點(diǎn)O重合,若BC=3,則折痕CE的長(zhǎng)為(

A.2
B.
C.
D.6

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【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,給下以下結(jié)論:
①2a﹣b=0;
②abc>0;
③4ac﹣b2<0;
④9a+3b+c<0;
⑤關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c+3=0有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根;
⑥8a+c<0.
其中正確的個(gè)數(shù)是( )

A.2
B.3
C.4
D.5

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知拋物線l1的最高點(diǎn)為P(3,4),且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,1),將拋物線l1繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°后,得到拋物線l2 , 求l2的解析式.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知:平面直角坐標(biāo)系中,四邊形OABC的頂點(diǎn)分別為O(0,0)、A(5,0)、B(m,2)、C(m﹣5,2).
(1)問(wèn):是否存在這樣的m,使得在邊BC上總存在點(diǎn)P,使∠OPA=90°?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(2)當(dāng)∠AOC與∠OAB的平分線的交點(diǎn)Q在邊BC上時(shí),求m的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】認(rèn)真閱讀下面關(guān)于三角形內(nèi)外角平分線的研究片斷,完成所提出的問(wèn)題.

探究1:如圖(1)在△ABC中,O是∠ABC與∠ACB的平分線BO和CO的交點(diǎn),通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)∠BOC=90°+∠A,理由如下:

∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACB的角平分線,∴∠1=∠ABC,∠2=∠ACB.

∴∠1+∠2= (∠ABC+∠ACB)= (180°-∠A)=90°-∠A.

∴∠BOC=180°-(∠1+∠2)=180°-(90°-∠A)=90°+∠A

探究2:如圖(2)中,O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點(diǎn),試分析∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系?請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】反比例函數(shù)y= 的圖象如圖,給出以下結(jié)論:
①常數(shù)k<1;
②在每一個(gè)象限內(nèi),y隨x的增大而減;
③若點(diǎn)A(﹣1,a)和A′(1,b)都在該函數(shù)的圖象上,則a+b=0;
④若點(diǎn)B(﹣2,h)、C( ,m)、D(3,n)在該函數(shù)的圖象上,則h<m<n.
其中正確的結(jié)論是(

A.①②
B.②③
C.③④
D.②④

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】問(wèn)題背景:

如圖1,在四邊形ABCD中,ABAD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°,EF分別是BC,CD上的點(diǎn),且∠EAF=60°,探究圖中線段BE,EF,FD之間的數(shù)量關(guān)系.

小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G,使DGBE,連結(jié)AG,先證明△ABE≌△ADG,再證明△AEF≌△AGF,可得出結(jié)論,他的結(jié)論應(yīng)是__________________;

探索延伸:

如圖2,若在四邊形ABCD中,ABAD,BD=180°,E,F分別是BC,CD上的點(diǎn),且∠EAFBAD,上述結(jié)論是否仍然成立,并說(shuō)明理由;

結(jié)論應(yīng)用:

如圖3,在某次軍事演習(xí)中,艦艇甲在指揮中心(O)北偏西30°A處,艦艇乙在指揮中心南偏東70°B處,并且兩艦艇到指揮中心的距離相等.接到行動(dòng)指令后,艦艇甲向正東方向以50海里/小時(shí)的速度前進(jìn),艦艇乙沿北偏東50°的方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn),1.5小時(shí)后,指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)EF處,且兩艦艇與指揮中心O之間夾角∠EOF=70°,試求此時(shí)兩艦艇之間的距離.

能力提高:

如圖4,等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,ABAC,點(diǎn)M,N在邊BC上,且∠MAN=45°.若BM=5,CN=12,則MN的長(zhǎng)為_________(直接寫出答案)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某中學(xué)為了綠化校園,計(jì)劃購(gòu)買一批榕樹和香樟樹,經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查,榕樹的單價(jià)比香樟樹少20,購(gòu)買3棵榕樹和2棵香樟樹共需340.

(1)榕樹和香樟樹的單價(jià)各是多少?

(2)根據(jù)學(xué)校實(shí)際情況,需購(gòu)買兩種樹苗共150,總費(fèi)用不超過(guò)10840,且購(gòu)買香樟樹的棵數(shù)不少于榕樹的1.5,請(qǐng)你算算該校本次購(gòu)買榕樹和香樟樹共有哪幾種方案.

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