【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=5,BC=12,E為BC的中點.⊙O與邊BC相切于點E,并交邊AD于點M、N,AM=3.
(1)求⊙O的半徑;
(2)將矩形ABCD繞點E順時針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角為(0°<≤90°).在旋轉(zhuǎn)的過程中,⊙O和矩形ABCD的邊是否能夠相切,若能,直接寫出相切時,旋轉(zhuǎn)角的正弦值;若不能,請說明理由.
【答案】(1) ⊙O的半徑為3.4.
【解析】
(1)如圖①,連接EO并延長,交AD于點F,連接OM.根據(jù)矩形的性質(zhì)和切線的性質(zhì)求得FM=3,設(shè)⊙O的半徑為r,則OM=OE=r,OF=5-r.在Rt△OFM中,根據(jù)勾股定理即可求得半徑的長.
(2)如圖②,A'B'與⊙O相切,切點為Q,此時旋轉(zhuǎn)角為∠BEB',作OP⊥B'E,連接OQ,OE,易證∠POE=∠BEB',OQ=PB'=OE,由(1)得OQ=PB'=OE=3.4,PE=6-3.4=2.6,即sin∠BEB'=sin∠POE=;如圖③,A'D'與⊙O相切,切點為Q,此時旋轉(zhuǎn)角為∠BEB',作OP⊥B'E,連接OQ,OE,易證∠POE=∠BEB',OQ+OP=A'B',由(1)得OQ=OE=3.4,OP=5-3.4=1.6,根據(jù)勾股定理,可得PE=3,即sin∠BEB'=sin∠POE=.
解:(1)如圖①,連接EO并延長,交AD于點F,連接OM.
∵ ⊙O與BC相切于點E,∴ OE⊥BC.
在矩形ABCD中,
AD∥BC,AD=BC=12,∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∴ 四邊形ABEF和四邊形DCEF是矩形.
∴ AF=BE,DF=CE,EF=AB=5.
∵ BE=CE,∴ AF=DF.
∵ OE⊥BC,AD∥BC,∴ OF⊥AD.∴ MF=NF.
∵ AF=6,AM=3,∴ FM=3.
設(shè)⊙O的半徑為r,則OM=OE=r,OF=5-r.
在Rt△OFM中,根據(jù)勾股定理,得32+(5-r)2=r2.
解這個方程,得r=3.4.
即⊙O的半徑為3.4.
(2),.
如圖②,A'B'與⊙O相切,切點為Q,此時旋轉(zhuǎn)角為∠BEB',作OP⊥B'E,連接OQ,OE,
∵∠BEO=90°,OP⊥B'E
∴∠BEB'+∠PEO=90°,∠POE+∠PEO=90°
∴∠POE=∠BEB',OQ=PB'=OE,
由(1)得OQ=PB'=OE=3.4,PE=6-3.4=2.6,即sin∠BEB'=sin∠POE=;
如圖③,A'D'與⊙O相切,切點為Q,此時旋轉(zhuǎn)角為∠BEB',作OP⊥B'E,連接OQ,OE,
∵∠BEO=90°,OP⊥B'E
∴∠BEB'+∠PEO=90°,∠POE+∠PEO=90°
∴∠POE=∠BEB',OQ+OP=A'B',由(1)得OQ=OE=3.4,OP=5-3.4=1.6,根據(jù)勾股定理,可得PE=3,即sin∠BEB'=sin∠POE=.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=4,BC=5,E是BC邊上的一個動點,DF⊥AE,垂足為點F,連結(jié)CF
(1)若AE=BC
①求證:△ABE≌△DFA;②求四邊形CDFE的周長;③求tan∠FCE的值;
(2)探究:當(dāng)BE為何值時,△CDF是等腰三角形.
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【題目】“淮南牛肉湯”是安徽知名地方小吃.某分店經(jīng)理發(fā)現(xiàn),當(dāng)每碗牛肉湯的售價為6元時,每天能賣出500碗;當(dāng)每碗牛肉湯的售價每增加0.5元時,每天就會少賣出20碗,設(shè)每碗牛肉湯的售價增加元時,一天的營業(yè)額為元.
(1)求與的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出的取值范圍);
(2)考慮到顧客可接受價格元/碗的范圍是,且為整數(shù),不考慮其他因素,則該分店的牛肉湯每碗多少元時,每天的牛肉湯營業(yè)額最大?最大營業(yè)額是多少元?
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【題目】為考察甲、乙兩種農(nóng)作物的長勢,研究人員分別抽取了6株苗,測得它們的高度(單位:cm)如下:
甲:98,102,100,100,101,99;乙:100,103,101,97,100,99.
(1)你認為哪種農(nóng)作物長得高一些?說明理由;
(2)你認為哪種農(nóng)作物長得更整齊一些?說明理由.
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【題目】如圖,在四邊形ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,AC⊥BD,AC平分∠BAD.
(1)給出下列四個條件:①AB=AD,②OB=OD,③∠ACB=∠ACD,④AD∥BC,上述四個條件中,選擇一個合適的條件,使四邊形ABCD是菱形,這個條件是(填寫序號);
(2)根據(jù)所選擇的條件,證明四邊形ABCD是菱形.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,BC=4,AC=3.點P是斜邊AB上一點,過點P作PM⊥AB交邊AC或BC于點M.又過點P作AC的平行線,與過點M的PM的垂線交于點N.設(shè)邊AP=x,△PMN與△ABC重合部分圖形的周長為y.
(1)AB= .
(2)當(dāng)點N在邊BC上時,x= .
(3)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.
(4)在點N位于BC上方的條件下,直接寫出過點N與△ABC一個頂點的直線平分△ABC面積時x的值.
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【題目】海靜中學(xué)開展以“我最喜愛的職業(yè)”為主題的調(diào)查活動,圍繞“在演員、教師、醫(yī)生、律師、公務(wù)員共五類職業(yè)中,你最喜愛哪一類?(必選且只選一類)”的問題,在全校范圍內(nèi)隨機抽取部分學(xué)生進行問卷調(diào)查,將調(diào)查結(jié)果整理后繪制成如圖所示的不完整的統(tǒng)計圖,請你根據(jù)圖中提供的信息回答下列問題:
(1)本次調(diào)查共抽取了多少名學(xué)生?
(2)求在被調(diào)查的學(xué)生中,最喜愛教師職業(yè)的人數(shù),并補全條形統(tǒng)計圖;
(3)若海靜中學(xué)共有1500名學(xué)生,請你估計該中學(xué)最喜愛律師職業(yè)的學(xué)生有多少名?
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【題目】如圖,在△ABC中,∠ABC=90°,BC邊在x軸正半軸上,中線BD的反向延長線交y軸負半軸于點E.雙曲線y=一條分支經(jīng)過點A,若S△BEC=4,則k等于( )
A. 4B. 8C. 12D. 16
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【題目】已知,如圖,BD為⊙O的直徑,點A、C在⊙O上并位于BD的兩側(cè),∠ABC=45°,連結(jié)CD、OA并延長交于點F,過點C作⊙O的切線交BD延長線于點E.
(1)求證:∠F=∠ECF;
(2)當(dāng)DF=6,tan∠EBC=,求AF的值.
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