Question

如圖，已知在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，AB⊥AC，CD⊥BD．
（1）求證：△AOD∽△BOC；
（2）若sin∠ABO=

2

3

，S_△AOD=4，求S_△BOC的值．

Answer 1

分析：（1）由AB⊥AC，CD⊥BD，可得∠BAC=∠BDC=90°，又由對頂角相等，根據有兩角對應相等的三角形相似，易得△AOB∽△DOC，即可得到比例線段，再由∠AOD=∠BOC，即可證得△AOD∽△BOC；
（2）由sin∠ABO=

2

3

，可得

AO

BO

=

2

3

，又由相似三角形的面積比等于相似比的平方，可求得S_△BOC的值．

解答：（1）證明：∵AB⊥AC，CD⊥BD，
∴∠BAC=∠BDC=90°，
又∵∠AOB=∠DOC，
∴△AOB∽△DOC，
∴

AO

DO

=

BO

CO

，
∴

AO

BO

=

DO

CO

，
又∵∠AOD=∠BOC，
∴△AOD∽△BOC；

（2）∵∠BAC=90°，sin∠ABO=

2

3

，
∴

AO

BO

=

2

3

，
∵△AOD∽△BOC，
∴

S△AOD

S△BOC

=(

AO

BO

)2，
∵S_△AOD=4，
∴

4

S△BOC

=(

2

3

)2，
∴S_△BOC=9．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，以及三角函數的定義．解題時要注意相似三角形的面積比等于相似比的平方，有兩角對應相等的三角形相似與有兩邊對應成比例且夾角相等三角形相似的性質的應用．