(2013•奉賢區(qū)一模)如圖,已知在四邊形ABCD中,AC⊥AB,BD⊥CD,AC與BD相交于點(diǎn)E,S△AED=9,S△BEC=25.
(1)求證:∠DAC=∠CBD;
(2)求cos∠AEB的值.
分析:(1)先由∠BAC=∠BDC=90°與∠AEB=∠DEC,證得△ABE∽△DCE;即可證得
AE
BE
=
DE
EC
,又由∠AED=∠BEC,證得△AED∽△BEC,故可得出∠DAC=∠CBD;
(2)由(1)知△AED∽△BEC,根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方,即可求得AE與BE的比值,由銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論.
解答:(1)證明:∵AC⊥AB,BD⊥CD,
∴∠BAC=∠BDC=90°,
又∵∠AEB=∠DEC,
∴△ABE∽△DCE,
AE
DE
=
BE
EC
,即
AE
BE
=
DE
EC
,
又∵∠AED=∠BEC,
∴△AED∽△BEC,
∴∠DAC=∠CBD;

(2)解:∵△AED∽△BEC,S△AED=9,S△BEC=25,
AE
BE
=
9
25
=
3
5
,
∴在Rt△ABE中,cos∠AEB=
AE
BE
=
3
5
點(diǎn)評:本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì),先根據(jù)題意得出△ABE∽△DCE是解答此題的關(guān)鍵.
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