Question

【題目】請(qǐng)用圖形變換（對(duì)稱、平移或旋轉(zhuǎn)）解決下列各題：

（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC＝60°，AD＝8，BC＝12，若P是邊AD上的任意一點(diǎn)，則△BPC周長(zhǎng)的最小值為　 ．

（2）如圖2，已知M（0，1）、P（2+，3）、E（a，0）、F（a+1，0），問(wèn)a為何值時(shí)，四邊形PMEF的周長(zhǎng)最小？

（3）如圖3，P為等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PB＝2，PC＝3，∠BPC＝150°，M、N為邊AB、AC上的動(dòng)點(diǎn)，且AM＝AN，請(qǐng)直接寫(xiě)出PM+PN的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）a＝時(shí)，四邊形PMEF周長(zhǎng)最小；（3）PM+PN的最小值為．

【解析】

（1）如圖1（見(jiàn)解析），先根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短得出周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)P的位置，再根據(jù)矩形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)求出CD的長(zhǎng)，從而可得的長(zhǎng)，然后利用勾股定理可得的長(zhǎng)，由此即可得出答案；

（2）如圖2（見(jiàn)解析），要使四邊形PMEF的周長(zhǎng)最小，只需最��；先利用平移、軸對(duì)稱的性質(zhì)得出，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得出最小時(shí)，點(diǎn)F的位置，然后利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，從而可得a的值；

（3）如圖（見(jiàn)解析），先將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理求出PA的長(zhǎng)，再將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短確認(rèn)最小時(shí)，點(diǎn)N的位置，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得出答案．

（1）如圖1，作點(diǎn)C關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)，連接交AD于，則

由軸對(duì)稱的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短可知，此時(shí)周長(zhǎng)最小，最小值為

作于H

∴四邊形ADCH是矩形

在中，

則周長(zhǎng)的最小值為

故答案為：；

（2）四邊形PMEF的四條邊中，PM、EF長(zhǎng)度固定，則只要最小，四邊形PMEF的周長(zhǎng)將取得最小值

如圖2，將點(diǎn)M向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度（EF的長(zhǎng)度），連接

則，四邊形是平行四邊形

作點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接

則，

由兩點(diǎn)之間線段最短得：當(dāng)點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為

設(shè)直線的解析式為

將點(diǎn)代入得

解得

則直線的解析式為

將點(diǎn)代入得

解得

故當(dāng)時(shí)，四邊形PMEF周長(zhǎng)最��；

（3）如圖3﹣1中，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接PE

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：

是等邊三角形

如圖3﹣2中，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接PF，交AC于點(diǎn)D

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：

是等邊三角形，

由兩點(diǎn)之間線段最短得：當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)D重合時(shí)，最小，最小值為PF

故的最小值為．