Question

將拋物線c₁：y=沿x軸翻折，得拋物線c₂，如圖所示。
（1）請(qǐng)直接寫出拋物線c₂的表達(dá)式；
（2）現(xiàn)將拋物線c₁向左平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后得到的新拋物線的頂點(diǎn)為M，與x軸的交點(diǎn)從左到右依次為A，B；將拋物線c₂向右也平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后得到的新拋物線的頂點(diǎn)為N，與x軸交點(diǎn)從左到右依次為D，E。
①當(dāng)B，D是線段AE的三等分點(diǎn)時(shí)，求m的值；
②在平移過(guò)程中，是否存在以點(diǎn)A，N，E，M為頂點(diǎn)的四邊形是矩形的情形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）；
（2）①令，得：，
則拋物線c₁與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），（1，0），
∴A（-1-m，0），B（1-m，0），
同理可得：D（-1+m，0），E（1+m，0），
當(dāng)時(shí)，如圖①，，
∴，
當(dāng)時(shí)，如圖②，，
∴，
∴當(dāng)或2時(shí)，B，D是線段AE的三等分點(diǎn)；
②存在，
理由：連接AN、NE、EM、MA，
依題意可得：，
即M，N關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，
∴，
∵，
∴A，E關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，
∴，
∴四邊形ANEM為平行四邊形，
要使平行四邊形ANEM為矩形，必需滿足，
即，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)A，N，E，M為頂點(diǎn)的四邊形是矩形。