【題目】如圖1,△ABC是等腰直角三角形,四邊形ADEF是正方形,D、F分別在AB、AC邊上,此時BD=CF,BD⊥CF成立.
(1)當(dāng)正方形ADEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)θ(0°<θ<90°)時,如圖2,BD=CF成立嗎?若成立,請證明;若不成立,請說明理由.
(2)當(dāng)正方形ADEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°時,如圖3,延長BD交CF于點G.
①求證:BD⊥CF;
②當(dāng)AB=4,AD=時,求線段BG的長.
【答案】解:(1)BD=CF成立。理由如下:
∵△ABC是等腰直角三角形,四邊形ADEF是正方形,
∴AB=AC,AD=AF,∠BAC=∠DAF=90°。
∵∠BAD=∠BAC﹣∠DAC,∠CAF=∠DAF﹣∠DAC,∴∠BAD=∠CAF。
在△BAD和△CAF中,∵AB=AC,∠BAD=∠CAF,
∴△BAD≌△CAF(SAS)!郆D=CF。
(2)①證明:設(shè)BG交AC于點M.
∵△BAD≌△CAF(已證),∴∠ABM=∠GCM。
又∵∠BMA=∠CMG,∴△BMA∽△CMG。
∴∠BGC=∠BAC=90°!郆D⊥CF。
②過點F作FN⊥AC于點N。
∵在正方形ADEF中,AD=DE=,
∴。
∴AN=FN=AE=1。
∵在等腰直角△ABC 中,AB=4,∴CN=AC﹣AN=3,。
∴在Rt△FCN中,。
在Rt△ABM中,。
∴AM=。
∴CM=AC﹣AM=4﹣,。
∵△BMA∽△CMG,∴,即,∴CG=。
∴在Rt△BGC中,。
【解析】(1)△ABC是等腰直角三角形,四邊形ADEF是正方形,易證得△BAD≌△CAF,根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等,即可證得BD=CF。
(2)①由△BAD≌△CAF,可得∠ABM=∠GCM,又由對頂角相等,易證得△BMA∽△CMG,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等,可得BGC=∠BAC=90°,即可證得BD⊥CF。
②首先過點F作FN⊥AC于點N,利用勾股定理即可求得AE,BC的長,繼而求得AN,CN的長,又由等角的三角函數(shù)值相等,可求得AM=。然后利用△BMA∽△CMG,求得CG的長,再由勾股定理即可求得線段BG的長。
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在某次訓(xùn)練中,甲、乙兩名射擊運動員各射擊10發(fā)子彈的成績統(tǒng)計圖如圖所示,對于本次訓(xùn)練,有如下結(jié)論:①S甲2>S乙2;②S甲2<S乙2;③甲的射擊成績比乙穩(wěn)定;④乙的射擊成績比甲穩(wěn)定,由統(tǒng)計圖可知正確的結(jié)論是( )
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1, 點在直線上, ,將.繞著點以的速度逆時針旋轉(zhuǎn),設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為.
(1)如圖2,當(dāng)平分時,______; 圖中的補角有: ______;
(2)如圖3,當(dāng)時,平分, 平分,求的度數(shù);
(3)在繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)的過程中,當(dāng)______時,.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】農(nóng)科所向農(nóng)民推薦渝江Ⅰ號和渝江Ⅱ號兩種新型良種稻谷.在田間管理和土質(zhì)相同的條件下,Ⅱ號稻谷單位面積的產(chǎn)量比Ⅰ號稻谷低20%,但Ⅱ號稻谷的米質(zhì)好,價格比Ⅰ號高.已知Ⅰ號稻谷國家的收購價是1.6元/千克.
(1)當(dāng)Ⅱ號稻谷的國家收購價是多少時,在田間管理、土質(zhì)和面積相同的兩塊田里分別種植Ⅰ號、Ⅱ號稻谷的收益相同?
(2)去年小王在土質(zhì)、面積相同的兩塊田里分別種植Ⅰ號、Ⅱ號稻谷,且進行了相同的田間管理.收獲后,小王把稻谷全部賣給國家.賣給國家時,Ⅱ號稻谷的國家收購價定為2.2元/千克,Ⅰ號稻谷國家的收購價未變,這樣小王賣Ⅱ號稻谷比賣Ⅰ號稻谷多收入1040元,那么小王去年賣給國家的稻谷共有多少千克?
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點A(8,1),B(0,﹣3),反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象經(jīng)過點A,動直線x=t(0<t<8)與反比例函數(shù)的圖象交于點M,與直線AB交于點N.
(1)k的值是______;
(2)當(dāng)t=4時,求△BMN面積.
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【題目】某校八年級兩個班,各選派10名學(xué)生參加學(xué)校舉行的“建!贝筚愵A(yù)賽,各參賽選手的成績?nèi)缦拢?/span>
八(1)班:88,91,92,93,93,93,94,98,98,100;
八(2)班:89,93,93,93,95,96,96,98,98,99.
通過整理,得到數(shù)據(jù)分析表如下:
班級 | 最高分 | 平均分 | 中位數(shù) | 眾數(shù) | 方差 |
八(1)班 | 100 | 93 | 93 | 12 | |
八(2)班 | 99 | 95 | 8.4 |
(1)直接寫出表中、、的值為:_____,_____,_____;
(2)依據(jù)數(shù)據(jù)分析表,有人說:“最高分在(1)班,(1)班的成績比(2)班好.”但也有人說(2)班的成績要好.請給出兩條支持八(2)班成績好的理由;
(3)學(xué)校從平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差中選取確定了一個成績,等于或大于這個成績的學(xué)生被評定為“優(yōu)秀”等級,如果八(2)班有一半的學(xué)生能夠達到“優(yōu)秀”等級,認(rèn)為這個成績應(yīng)定為_____分.
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【題目】如圖,∠D=∠C=90°,E是DC的中點,AE平分∠DAB,∠DEA=28°,則∠ABE的度數(shù)是__________.
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【題目】將兩塊直角三角形紙板如圖①擺放,,現(xiàn)將繞點逆時針轉(zhuǎn)動;
當(dāng)轉(zhuǎn)動至圖②位置時,若,且平分平分,則 _;
當(dāng)轉(zhuǎn)動至圖③位置時,平分平分,求的度數(shù);
當(dāng)轉(zhuǎn)動至圖④位置時,平分平分,請直接寫出的度數(shù).
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【題目】為了迎接期末考試,某中學(xué)對全校七年級學(xué)生進行了一次數(shù)學(xué)摸底考試,并隨機抽取了部分學(xué)生的測試成績作為樣本進行分析,繪制成了如圖兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請根據(jù)圖中所給出的信息,解答下列問題:
(1)在這次調(diào)查中,被抽取的學(xué)生的總?cè)藬?shù)為多少?
(2)請將表示成績類別為“中”的條形統(tǒng)計圖補充完整.
(3)在扇形統(tǒng)計圖中,表示成績類別為“優(yōu)”的扇形所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)是多少?
(4)學(xué)校七年級共有1000人參加了這次數(shù)學(xué)考試,估計該校七年級共有多少名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績可以達到優(yōu)秀.
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