【題目】如圖,直線y=﹣x+3與x軸相交于點(diǎn)B,與y軸相交于點(diǎn)A,點(diǎn)E為線段AB中點(diǎn),∠ABO的平分線BD與y軸相較于點(diǎn)D,點(diǎn)A、C關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱.
(1)求線段DE的長;
(2)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā),沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\(yùn)動(dòng)到直線BC上的點(diǎn)F,再沿射線CB方向移動(dòng)2個(gè)單位到點(diǎn)G,最后從點(diǎn)G沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E處,當(dāng)P的運(yùn)動(dòng)路徑最短時(shí),求此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo);
(3)將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角度α(0<α≤180°),在旋轉(zhuǎn)過程中DE所在的直線分別與直線BC、直線AC相交于點(diǎn)M、點(diǎn)N,是否存在某一時(shí)刻使△CMN為等腰三角形,若存在,請(qǐng)求出CM的長,若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)1;(2)(,);(3)6+﹣3或6++3或2﹣2或8.
【解析】
(1)想辦法證明DE⊥AB,利用角平分線的性質(zhì)定理證明DE=OD即可解決問題;
(2)過點(diǎn)E作EE′∥BC,點(diǎn)E′在x軸下方且EE′=2,作點(diǎn)D關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)D′,連接E′D′交BC于F,在射線CB上取FG=2.此時(shí)D→F→G→E的路徑最短.
(3)分三種情形:①如圖1中,當(dāng)CM=CN時(shí),在AE上取一點(diǎn)P,使得AP=PN.設(shè)EN=x.②如圖2中,當(dāng)MN=MC時(shí),作BP⊥MN于P,則四邊形ADPB是矩形.③如圖3中,當(dāng)NC=MN時(shí),D與N重合,作DP⊥BC于P.分別解直角三角形即可解決問題.
解:(1)∵直線y=﹣x+3與x軸相交于點(diǎn)B,與y軸相交于點(diǎn)A,
∴A(0,3),B(,0),
∴OA=3,OB=,
∴tan∠ABO==,
∴∠ABO=60°,
∵BD平分∠ABO,
∴∠DBO=30°,
∴OD=OBtan30°=1,DB=2OD=2,
∴AD=DB=2,
∴AE=EB,
∴DE⊥AB,∵DO⊥OB,DB平分∠ABO,
∴DE=DO=1.
(2)過點(diǎn)E作EE′∥BC,點(diǎn)E′在x軸下方且EE′=2,作點(diǎn)D關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)D′,連接E′D′交BC于F,在射線CB上取FG=2.此時(shí)D→F→G→E的路徑最短.
∵E′(,),D′(2,﹣1),
∴直線D′E′的解析式為,直線BC的解析式為y=x﹣3,
由,解得,,
∴F .
把點(diǎn)F向上平移3個(gè)單位,向右平移個(gè)單位得到點(diǎn)G,
∴G().
(3)以點(diǎn)A為圓心,以AE為半徑作⊙A,則DE為⊙A的切線.
①如圖1中,當(dāng)CM=CN時(shí),在AE上取一點(diǎn)P,使得AP=PN.設(shè)EN=x.
∵CM=CN,∠MCN=30°,
∴∠CNM=∠CMN=75°,
∴∠ANE=∠CNM=75°,
∴∠EAN=15°,
∴∠PAN=∠ANP=15°,
∴∠EPN=30°,
∴PN=AP=2x,PE=x,
∴2x+x=,
∴x=2﹣3,
∴AN=,
∴CM=CN==.
②如圖2中,當(dāng)MN=MC時(shí),作BP⊥MN于P,則四邊形ADPB是矩形,PB=AE=,
在Rt△PBM中,∠PBM=30°,
∴BM=2,
∴CM=BC﹣BM=2﹣2.
③如圖2﹣1中.CM=CN時(shí),同法可得CM=.
④如圖3中,當(dāng)NC=MN時(shí),D與N重合,作DP⊥BC于P.
∵CD=6+2=8,∠DCP=30°,
∴PC=PM=4,
∴CM=8
綜上所述,滿足條件的CM的值為或或2﹣2或8.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義:若以一條線段為對(duì)角線作正方形,則稱該正方形為這條線段的“對(duì)角線正方形”.例如,圖①中正方形ABCD即為線段BD的“對(duì)角線正方形”.如圖②,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3cm,BC=4cm,點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā),沿折線CA﹣AB以5cm/s的速度運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B不重合時(shí),作線段PB的“對(duì)角線正方形”,設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s),線段PB的“對(duì)角線正方形”的面積為S(cm2).
(1)如圖③,借助虛線的小正方形網(wǎng)格,畫出線段AB的“對(duì)角線正方形”.
(2)當(dāng)線段PB的“對(duì)角線正方形”有兩邊同時(shí)落在△ABC的邊上時(shí),求t的值.
(3)當(dāng)點(diǎn)P沿折線CA﹣AB運(yùn)動(dòng)時(shí),求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式.
(4)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中,當(dāng)線段PB的“對(duì)角線正方形”至少有一個(gè)頂點(diǎn)落在∠A的平分線上時(shí),直接寫出t的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,在□ABCD中,DE、BF分別是∠ADC和∠ABC的角平分線,交AB、CD于點(diǎn)E、F,連接BD、EF.
(1)求證:BD、EF互相平分;
(2)若∠A=600,AE=2EB,AD=4,求四邊形DEBF的周長和面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:x為實(shí)數(shù),[x]表示不超過x的最大整數(shù),如[3.14]=3,[1]=1,[﹣1.2]=﹣2.請(qǐng)你在學(xué)習(xí),理解上述定義的基礎(chǔ)上,解決下列問題:設(shè)函數(shù)y=x﹣[x].
(1)當(dāng)x=2.15時(shí),求y=x﹣[x]的值;
(2)當(dāng)0<x<2時(shí),求函數(shù)y=x﹣[x]的表達(dá)式,并畫出函數(shù)圖象;
(3)當(dāng)﹣2<x<2時(shí),平面直角坐標(biāo)系xOy中,以O為圓心,r為半徑作圓,且r≤2,該圓與函數(shù)y=x﹣[x]恰有一個(gè)公共點(diǎn),請(qǐng)直接寫出r的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“馬航事件”的發(fā)生引起了我國政府的高度重視,我國政府迅速派出了艦船和飛機(jī)到相關(guān)海域進(jìn)行搜尋.如圖,在一次空中搜尋中,水平飛行的飛機(jī)在點(diǎn)A處測(cè)得前方海面的點(diǎn)F處有疑似飛機(jī)殘骸的物體(該物體視為靜止),此時(shí)的俯角為30°.為了便于觀察,飛機(jī)繼續(xù)向前飛行了800m到達(dá)B點(diǎn),此時(shí)測(cè)得點(diǎn)F的俯角為45°.請(qǐng)你計(jì)算當(dāng)飛機(jī)飛臨F點(diǎn)的正上方點(diǎn)C時(shí)(點(diǎn)A,B,C在同一直線上),豎直高度CF約為多少米?(結(jié)果保留整數(shù).參考數(shù)據(jù):≈1.7)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C.直線經(jīng)過拋物線與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)B和C。
(1)求直線BC的解析式;
(2)點(diǎn)D是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與兩個(gè)端點(diǎn)均不重合),過點(diǎn)D引y軸的平行線PD交拋物線于點(diǎn)P,設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為直線,如果以點(diǎn)P為圓心的⊙P與直線BC相切,請(qǐng)用點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x表示⊙P的半徑R。
(3)在(2)的基礎(chǔ)上判斷⊙P與直線的位置關(guān)系。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(問題情境)在綜合實(shí)踐課上,同學(xué)們以“圖形的平移”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng),如圖①,先將一張長為4,寬為3的矩形紙片沿對(duì)角線剪開,拼成如圖所示的四邊形,,,則拼得的四邊形的周長是_____.
(操作發(fā)現(xiàn))將圖①中的沿著射線方向平移,連結(jié)、、、,如圖②.當(dāng)的平移距離是的長度時(shí),求四邊形的周長.
(操作探究)將圖②中的繼續(xù)沿著射線方向平移,其它條件不變,當(dāng)四邊形是菱形時(shí),將四邊形沿對(duì)角線剪開,用得到的四個(gè)三角形拼成與其面積相等的矩形,直接寫出所有可能拼成的矩形周長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在所在平面上任意取一點(diǎn)O(與A、B、C不重合),連接OA、OB、OC,分別取OA、OB、OC的中點(diǎn)、、,再連接、、得到,則下列說法不正確的是( )
A.與是位似圖形
B.與是相似圖形
C.與的周長比為2:1
D.與的面積比為2:1
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將兩張完全相同的矩形紙片ABCD、FBED按如圖方式放置,BD為重合的對(duì)角線.重疊部分為四邊形DHBG.
(1)試判斷四邊形DHBG為何種特殊的四邊形,并說明理由;
(2)若AB=8,AD=4,求四邊形DHBG的面積.
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