Question

【題目】如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接PA、PC，PA＝PC，∠APC＝90°，把線(xiàn)段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到線(xiàn)段AQ（點(diǎn)P與點(diǎn)Q為對(duì)應(yīng)點(diǎn)），連接BQ交AP于點(diǎn)E．點(diǎn)D為BQ的中點(diǎn)，連接AD、PD，若S△DAP＝2，則AB＝__．

Answer 1

【答案】4

【解析】

延長(zhǎng)QA到M，使得AM＝AQ，連接BM，PM．首先證明△PAM是等邊三角形，證明△MAB≌△PAC（SAS），推出∠AMB＝∠APC＝90°，由AQ＝AM，BD＝DQ，推出AD∥BM，BM＝2AD，推出AD＝PA，再利用三角形的面積公式構(gòu)建方方程求出PA即可解決問(wèn)題．

延長(zhǎng)QA到M，使得AM＝AQ，連接BM，PM．

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠BAC＝60°，

∵PA＝PC，∠APC＝90°，

∴∠PAC＝∠PCA＝45°，

∵∠PAQ＝120°，

∴∠PAM＝180°﹣120°＝60°，

∵AM＝AQ＝AP，

∴△APM是等邊三角形，

∴∠MAP＝∠BAC＝60°，

∴∠MAB＝∠PAC，

∵AM＝AP，AB＝AC，

∴△MAB≌△PAC（SAS），

∴BM＝PC，∠AMB＝∠APC＝90°，

∵AQ＝AM，BD＝DQ，

∴AD∥BM，BM＝2AD，

∴AD＝PA，

∴∠QAD＝∠QMB＝90°，

∴∠PAD＝∠MAD﹣∠MAP＝90°﹣60°＝30°，

∵S△PAD＝2，

∴PAADsin30°＝2，

∴PAPA＝2，

∴PA＝4，

∴AB＝AC＝PA＝4，

故答案為4．