【題目】如圖,已知直線l切⊙O于點(diǎn)A,B為⊙O上一點(diǎn),過點(diǎn)B作BC⊥l,垂足為點(diǎn)C,連接AB、OB.
(1)求證:∠ABC=∠ABO;
(2)若AB=,AC=1,求⊙O的半徑.
【答案】(1)詳見解析;(2)⊙O的半徑是.
【解析】
(1)連接OA,求出OA∥BC,根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得出∠OBA=∠OAB,∠OBA=∠ABC,即可得出答案;
(2)根據(jù)矩形的性質(zhì)求出OD=AC=1,根據(jù)勾股定理求出BC,根據(jù)垂徑定理求出BD,再根據(jù)勾股定理求出OB即可.
(1)證明:連接OA,
∵OB=OA,
∴∠OBA=∠OAB,
∵AC切⊙O于A,
∴OA⊥AC,
∵BC⊥AC,
∴OA∥BC,
∴∠OBA=∠ABC,
∴∠ABC=∠ABO;
(2)解:過O作OD⊥BC于D,
∵OD⊥BC,BC⊥AC,OA⊥AC,
∴∠ODC=∠DCA=∠OAC=90°,
∴OD=AC=1,
在Rt△ACB中,AB=,AC=1,由勾股定理得:BC==3,
∵OD⊥BC,OD過O,
∴BD=DC=BC==1.5,
在Rt△ODB中,由勾股定理得:OB=,
即⊙O的半徑是.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“和睦四邊形”,寓意是全世界和平共處,睦鄰友好,共同發(fā)展.如菱形,正方形等都是“和睦四邊形”.
(1)如圖1,BD平分∠ABC,AD∥BC,求證:四邊形ABCD為“和睦四邊形”;
(2)如圖2,直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)P、Q分別是線段OA、AB上的動(dòng)點(diǎn).點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以每秒4個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng).點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā),以每秒5個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng).P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.當(dāng)四邊形BOPQ為“和睦四邊形”時(shí),求t的值;
(3)如圖3,拋物線與軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn),拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D.當(dāng)四邊形COBD為“和睦四邊形”,且CD=OC.拋物線還滿足:①;②頂點(diǎn)D在以AB為直徑的圓上. 點(diǎn)是拋物線上任意一點(diǎn),且.若恒成立,求m的最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB=4,射線BM和AB互相垂直,點(diǎn)D是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)E在射線BM上,BE=DB,作EF⊥DE并截取EF=DE,連接AF并延長交射線BM于點(diǎn)C.設(shè)BE=x,BC=y,則y關(guān)于x的函數(shù)解析式為( )
A.-B.-C.-D.-
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象的一部分,給出下列命題:①a+b+c=0;②b>2a;③方程ax2+bx+c=0的兩根分別為﹣3和1;④當(dāng)x<1時(shí),y<0.其中正確的命題是( 。
A.②③B.①③C.①②D.①③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,等邊三角形ABC的邊長為5,D、E分別是邊AB、AC上的點(diǎn),將△ADE沿DE折疊,點(diǎn)A恰好落在BC邊上的點(diǎn)F處,若BF=2,則BD的長是( 。
A.2B.3C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象的頂點(diǎn)在第一象限,且過點(diǎn)(0,1)和(﹣1,0).下列結(jié)論:①ab<0,②b2>4a,③0<a+b+c<2,④0<b<1,⑤當(dāng)x>﹣1時(shí),y>0,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是
A.5個(gè) B.4個(gè) C.3個(gè) D.2個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC內(nèi)接于⊙P,AB是⊙P的直徑,A(﹣1,0)、C(3,2),BC的延長線交y軸于點(diǎn)D,點(diǎn)F是y軸上的一動(dòng)點(diǎn),連接FC并延長交x軸于點(diǎn)E.
(1)求⊙P的半徑;
(2)當(dāng)∠A=∠DCF時(shí),求證:CE是⊙P的切線.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,等腰直角△ABC,OC=2,拋物線y=ax2+c過A,B,C三點(diǎn),D為拋物線上一點(diǎn),連接BD且tan∠DBC=.
(1)求直線BD和拋物線所表示的函數(shù)解析式.
(2)如果在拋物線上有一點(diǎn)E,使得S△EBC=S△ABD,求這時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校一課外活動(dòng)小組為了了解學(xué)生最喜歡的球類運(yùn)動(dòng)況,隨機(jī)抽查了本校九年級(jí)的200名學(xué)生,調(diào)查的結(jié)果如圖所示,請(qǐng)根據(jù)該扇形統(tǒng)計(jì)圖解答以下問題:
(1)圖中的值是________;
(2)被查的200名生中最喜歡球運(yùn)動(dòng)的學(xué)生有________人;
(3)若由3名最喜歡籃球運(yùn)動(dòng)的學(xué)生(記為),1名最喜歡乒乓球運(yùn)動(dòng)的學(xué)生(記為),1名最喜歡足球運(yùn)動(dòng)的學(xué)生(記為)組隊(duì)外出參加一次聯(lián)誼活動(dòng).欲從中選出2人擔(dān)任組長(不分正副),列出所有可能情況,并求2人均是最喜歡籃球運(yùn)動(dòng)的學(xué)生的概率.
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