Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線y＝ax²＋bx－3（a≠0）交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為5．點(diǎn)P是直線AB下方的拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），過點(diǎn)P作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)C，作PD⊥AB于點(diǎn)D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．
①用含m的代數(shù)式表示線段PD的長，并求出線段PD長的最大值；
②連結(jié)PB，線段PC把△PDB分成兩個(gè)三角形，是否存在適合的m的值，使這兩個(gè)三角形的面積比為1:2．若存在，直接寫出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）；（2）①；；②0或3.

解析試題分析：（1）在y=x+1中，當(dāng)y=0時(shí)，x=-1；當(dāng)y=5時(shí)，x=4，依此可得A與B的坐標(biāo)；將A與B坐標(biāo)代入拋物線解析式求出a與b的值，即可確定出拋物線解析式；
（2）①設(shè)直線AB與y軸交于點(diǎn)E，由CP與y軸平行，得到∠ACP=∠AEO，求出AE與OA的長，得出sin∠AEO的值，即為sin∠ACP的值，由P的橫坐標(biāo)為m，分別代入直線與拋物線解析式得到兩個(gè)縱坐標(biāo)之差為PC的長，由PD=PCsin∠ACP表示出PD，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出PD的最大值即可；
②存在，過D作DF⊥CP，過B作BG⊥PQ，交PC延長線與點(diǎn)Q，表示出DF與BG，進(jìn)而表示出三角形DCP面積與三角形BCP面積，根據(jù)面積之比為1：2列出關(guān)于m的方程，求出方程的解得到m的值即可．
試題解析：（1）在中，當(dāng)y=0時(shí)，x=-1；當(dāng)y=5時(shí)，x=4．
∴A(-1，0)、B(4，5) .
將A(-1，0)、B(4，5)分別代入y＝ax²＋bx－3中，得
，解得．
∴所求解析式為.
（2）①設(shè)直線AB交y軸于點(diǎn)E，求得E（0，1），∴OA=OE，∠AEO=45°,∠ACP=∠AEO="45°,"
∴． 
設(shè)，則，
∴．
∴．
∴PD的最大值為．
②當(dāng)m=0或m=3時(shí)，PC把△PDB分成兩個(gè)三角形的面積比為1:2．
如圖，過D作DF⊥CP，過B作BG⊥PQ，交PC延長線與點(diǎn)Q，
∵sin∠ACP=，∴cos∠ACP=.
在Rt△PDF中，DF=DP•sin∠DPC=DP•cos∠ACP=.
又∵BG=4-m，
∴.
當(dāng)時(shí)，解得：m=0；
當(dāng) 2時(shí)，解得：m=3．
故當(dāng)m=0或m=3時(shí)，PC把△PDB分成兩個(gè)三角形的面積比為1：2．

考點(diǎn)：1.二次函數(shù)綜合題；2.待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；3.坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；4.二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)；5.銳角三角函數(shù)定義；6.三角形的面積求法；7.分類思想的應(yīng)用.