精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情

【題目】如圖,二次函數y=﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,OB=OC=3,直線l是拋物線的對稱軸,E是拋物線的頂點.

(I)求b,c的值;

(Ⅱ)如圖1,連BE,線段OC上的點F關于直線l的對稱點F′恰好在線段BE上,求點F的坐標;

(Ⅲ)如圖2,動點P在線段OB上,過點Px軸的垂線分別與BC交于點M、與拋物線交于點N.試問:拋物線上是否存在點Q,使得PQNAPM的面積相等,且線段NQ的長度最?若存在,求出點Q的坐標;若不存在,說明理由.

【答案】(I)b=2,c=3;;(Ⅱ)F的坐標為(0,2);(Ⅲ)見解析.

【解析】分析:(I)將點B、C的坐標代入函數解析式求得系數b、c的值即可;

(Ⅱ)可設F(0,m),則可表示出F′的坐標,由B、E的坐標可求得直線BE的解析式,把F′坐標代入直線BE解析式可得到關于m的方程,可求得F點的坐標;

(Ⅲ)設點P坐標為(n,0),可表示出PA、PB、PN的長,作QRPN,垂足為R,則可求得QR的長,用n可表示出Q、R、N的坐標,在RtQRN中,由勾股定理可得到關于n的二次函數,利用二次函數的性質可知其取得最小值時n的值,則可求得Q點的坐標.

詳解:(I)OB=OC=3,

B(3,0),C(0,3),

將其代入y=-x2+bx+c,得

解得b=2,c=3;

(Ⅱ)設點F的坐標為(0,m).

∵對稱軸為直線x=1,

∴點F關于直線l的對稱點F的坐標為(2,m).

由(I)可知拋物線解析式為y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,

E(1,4),

∵直線BE經過點B(3,0),E(1,4),

∴利用待定系數法可得直線BE的表達式為y=-2x+6.

∵點FBE上,

m=-2×2+6=2,即點F的坐標為(0,2);

(Ⅲ)存在點Q滿足題意.

設點P坐標為(n,0),則PA=n+1,PB=PM=3-n,PN=-n2+2n+3.

QRPN,垂足為R,

SPQN=SAPM

(n+1)(3-n)=(-n2+2n+3)QR,

QR=1.

①點Q在直線PN的左側時,Q點的坐標為(n-1,-n2+4n),R點的坐標為(n,-n2+4n),N點的坐標為(n,-n2+2n+3).

∴在RtQRN中,NQ2=1+(2n-3)2,

n=時,NQ取最小值1.此時Q點的坐標為(,);

②點Q在直線PN的右側時,Q點的坐標為(n+1,n2-4).

同理,NQ2=1+(2n-1)2,

n=時,NQ取最小值1.此時Q點的坐標為(,).

綜上可知存在滿足題意的點Q,其坐標為(,)或(,).

練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數學 來源: 題型:

【題目】如圖,拋物線yax2bxc經過ABC的三個頂點,與y軸相交于(0, ),點A坐標為(1,2),點B是點A關于y軸的對稱點,點Cx軸的正半軸上.

1求該拋物線的函數解析式;

2F為線段AC上一動點,過點FFEx軸,FGy軸,垂足分別為點E,G,當四邊形OEFG為正方形時,求出點F的坐標;

32中的正方形OEFG沿OC向右平移,記平移中的正方形OEFG為正方形DEFG,當點E和點C重合時停止運動,設平移的距離為t,正方形的邊EFAC交于點M,DG所在的直線與AC交于點N,連接DM,是否存在這樣的t,使DMN是等腰三角形?若存在,求t的值;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

【題目】如圖,一個點表示一個數,不同位置的點表示不同的數,每行各點所表示的數自左向右從小到大,且相鄰兩個點所表示的數相差1,每行數的和等于右邊相應的數字,那么,表示2020的點在第______行,從左向右第______個位置.

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

【題目】124日為全國法制宣傳日,當天某初中組織4名學生參加法制知識競賽,共設20道選擇題,各題分值相同,每題必答,下表記錄了其中2名參賽學生的得分情況

參賽者

答對題數

答錯題數

得分

A

20

0

100

B

17

3

79

1)參賽學生72分,他答對了幾道題?答錯了幾道題?

2)參賽學生說他可以得88分,你認為可能嗎?為什么?

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

【題目】每年“雙十一”購物活動,商家都會利用這個契機進行打折滿減的促銷活動.某商家平時的優(yōu)惠措施是按所有商品標價打七折:“雙十一”活動期間的優(yōu)惠措施是:購買的所有商品先按標價總和打七五折,再享受折后每滿元減元的優(yōu)惠.如標價為元的商品,折后為元,再減元,即實付:(元).

1)該商店標價總和為元的商品,在“雙十一”購買,最后實際支付只需多少元?

2)小明媽媽在這次活動中打算購買某件商品,打折滿減后,應付金額是元,求該商品的標價.

3)在(2)的條件下,若該商家出售的商品標價均為整數,小明通過計算后告訴媽媽:通過湊單(再購買少量商品)實際支付金額只需再多付   元,就可獲得最大優(yōu)惠?

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

【題目】已知如圖,已知∠1=∠2,∠C=∠D

1)判斷BDCE是否平行,并說明理由;(2)說明∠A=∠F的理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

【題目】有一列式子,按一定規(guī)律排列成, …

1)當a =1時,其中三個相鄰數的和是63,則位于這三個數中間的數是________;

2)上列式子中第n個式子為_____________n為正整數).

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

【題目】甲乙兩地相距180km,一列慢車以40km/h的速度從甲地勻速駛往乙地,慢車出發(fā)30分鐘后,一列快車以60km/h的速度從甲地勻速駛往乙地.兩車相繼到達終點乙地,再次過程中,兩車恰好相距10km的次數是(

A.1B.2C.3D.4

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

【題目】在正方形ABCD中,AC是對角線,今有較大的直角三角板,一邊始終經過點B,直角頂點P在射線AC上移動,另一邊交DC于點Q.

(1)如圖①,當點Q在DC邊上時,猜想并寫出PB與PQ所滿足的數量關系,并加以證明;

(2)如圖②,當點Q落在DC的延長線上時,猜想并寫出PB與PQ滿足的數量關系,并證明你的猜想.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案