Question

已知，如圖，在邊長為a的正方形ABCD中，M是AD的中點(diǎn)，能否在邊AB上找一點(diǎn)N（不含A、B），使得△CDM與△MAN相似？若能，請給出證明，若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：兩個三角形都是直角三角形，還只需滿足一對角對應(yīng)相等或夾直角的兩邊對應(yīng)成比例即可說明兩個三角形相似．
若DM與AM對應(yīng)，則△CDM與△MAN全等，N與B重合，不合題意；
若DM與AN對應(yīng)，則CD：AM=DM：AN，得AN=

1

4

a，從而確定N的位置．

解答：證明：分兩種情況討論：
①若△CDM∽△MAN，則

DM

AN

=

CD

AM

．
∵邊長為a，M是AD的中點(diǎn)，
∴AN=

1

4

a．
②若△CDM∽△NAM，則

CD

AN

=

DM

AM

．
∵邊長為a，M是AD的中點(diǎn)，
∴AN=a，即N點(diǎn)與B重合，不合題意．
所以，能在邊AB上找一點(diǎn)N（不含A、B），使得△CDM與△MAN相似．當(dāng)AN=

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4

a時，N點(diǎn)的位置滿足條件．

點(diǎn)評：此題考查相似三角形的判定．因不明確對應(yīng)關(guān)系，所以需分類討論．