Question

已知：如圖，在邊長為2的等邊三角形△ABC中，點P以每秒1個單位從C向B運動，運動時間為t秒，且PQ=1，過P、Q點分別向BC作垂線，垂足分別為P、Q，交AC、AB于M、N，連接MN；
（1）當t為何值時，四邊形MPQN是矩形？
（2）不管點P如何移動，四邊形MPQN的面積是否改變，說明理由；
（3）當t為何值時，△CMP與△AMN相似？這時△MNP是什么類型的三角形？

Answer 1

分析：（1）由于四邊形MPQN是矩形，所以在MPQN中PM=NQ，據此列出關于t的等式，解方程即可；
（2）不管點P如何移動，四邊形MPQN的面積不發(fā)生改變，根據（1）中所求PM、QN的表達式，利用梯形面積表達式即可求出S關于t的函數(shù)關系式，通過計算為定值；
（3）根據對應點和對應邊的不同，會得到不同的相似三角形，再分兩種情況討論．

解答：解：（1）∵△ABC是等邊三角形，PM⊥CB，QN⊥CB，
∴∠B=∠C=60°，
在Rt△CPM和Rt△BQN中，
∵CP=t，BQ=1-t，
∴PM=CP•tanC=t•tan60°=

3

t，
QN=BQ•tanB=（1-t）tan60°=

3

（1-t），
∵四邊形MPQN是矩形，
∴PM=NQ，
即：

3

t=

3

（1-t），
解得：t=

1

2

；

（2）不管點P如何移動，四邊形MPQN的面積不發(fā)生改變，理由如下：
由（1）可知：PM=CP•tanC=t•tan60°=

3

t，QN=BQ•tanB=（1-t）tan60°=

3

（1-t），
∴S_四邊形MPNQ=

1

2

×1×[

3

t+

3

（1-t）]=

3

2

；
∴不管點P如何移動，四邊形MPQN的面積不發(fā)生改變；

（3）∵△CMP是Rt△，且∠CPM=90°，∠C=60°，△AMN中∠A=60°，
若使△CMP與△AMN相似，對應的頂點只能是：C→A，P→N，M→M或C→A，P→M，M→N，
①當C→A，P→N，M→M時，由△CMP∽△AMN得：
∵CM=2t，BN=2（1-t），
∴AM=2-2t，AN=2-2（1-t）=2t，
∴

t

2t

=

2t

2-2t

，
解得：t=

1

3

；
②當C→A，P→M，M→N時，由△CMP∽△ANM得：

CP

AM

=

CM

AN

，
∴

2t

2-2t

=

2t

2t

，解得：t=

2

3

，
綜合，所求t=

1

3

或

2

3

時△CMP與△AMN相似，
當t=

2

3

時，都有AM=CP=BN，AN=CM=BP，
且∠A=∠B=∠C=60°，
∴△ANM≌△CMP≌△BPN，
∴NM=MP=PN，即△MNP是等邊三角形．

點評：本題考查了等邊三角形的性質以及判定、特殊角的銳角三角函數(shù)值、矩形的性質、相似三角形的判定和性質，此題是一道動點問題，解題的關鍵是充分利用相似三角形的性質和矩形的性質列出關于t的等式解答．