【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,OD⊥弦BC于點D,交⊙O于點E,AEBC交于點F,點HOD延長線上一點,且∠OHB=AEC.

(1)求證:BH是⊙O的切線;

(2)求證:CE2=EF·EA;

(3)若⊙O的半徑為5,sinC=,求BF的長.

【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)

【解析】

(1)由圓周角定理和已知條件證出∠H=ABC,再證出∠ABC+DBH=90°,即∠OBH=90°,即可得出BH是⊙O的切線;
(2)連接AC,由垂徑定理得出=,得出∠CAE=ECB,再由公共角∠CEA=HEC,證明CEF∽△AEC,得出對應邊成比例即可得出結(jié)論;
(3)連接BE,由圓周角定理得出∠AEB=90°,由三角函數(shù)求出BE,再根據(jù)勾股定理求出EA,得出BE=CE=6,由(2)的結(jié)論求出EF,然后根據(jù)勾股定理求出BF即可.

(1)證明:∵∠OHB =AEC,AEC=ABC

∴∠OHB=ABC,

ODBC,

∴∠ABC+DBH=90°,

BHOB

BH是⊙O的切線;

(2)證明:連接AC,如圖1所示:

ODBC,

=,

∴∠CAE=ECB,

∵∠CEA=FEC,

CEFAEC

CE2=EF·EA;

(3)連接BE,如圖2所示:

ABO的直徑,

∵⊙O的半徑為5,sinBAE

AB=10,BE=ABsinBAE

=,

BE=CE=6,

CE2=EF·EA;

RtBEF,

練習冊系列答案
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