Question

【題目】如圖，在長方形中，，線段上有動點(diǎn)，過作直線交邊于點(diǎn)，并使得．

當(dāng)與重合時(shí)，求的長；

在直線上是否存在一點(diǎn)，使得是等腰直角三角形？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】；或或時(shí)，是等腰直角三角形．

【解析】

（1）根據(jù)N與A重合時(shí)，BN=AB，然后代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解；
（2）分①∠PNM=90°時(shí)，求出△APN和△BNM全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AN=BM，AP=BN，然后根據(jù)AB=3列出方程計(jì)算即可得解；②∠PMN=90°時(shí)，過點(diǎn)P作PE⊥BC于E，求出△PME和△MNB全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得PE=BM，BN=ME，再根據(jù)BE=BM+ME列式計(jì)算即可得解；③∠MPN=90°時(shí)，過點(diǎn)M作MF⊥AD于F，求出△APN和△FMP全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AP=MF．

與重合時(shí)，，

∴；①時(shí)，如圖，易得，

在和中，，

∴≌，

∴，，

∵，

∴，

解得，

∴；

②時(shí)，如圖，過點(diǎn)作于，

易得，

在和中，，

∴≌，

∴，，

∴；

③時(shí)，如圖，過點(diǎn)作于，

易得，

在和中，，

∴≌，

∴，

綜上所述，或或時(shí)，是等腰直角三角形．