Question

【題目】如圖一，已知拋物線y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（0，3）、B（1，0），其對稱軸為直線l：x＝2，過點A作AC∥x軸交拋物線于點C，∠AOB的平分線交線段AC于點E，點P是拋物線上的一個動點，設(shè)其橫坐標為m．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若動點P在直線OE下方的拋物線上，連結(jié)PE、PO，當m為何值時，四邊形AOPE面積最大，并求出其最大值；在四邊形AOPE面積最大時，在線段OE上取點M，在y軸上取點N，當PM+MN+AN取最小值時，求出此時N點的坐標．

（3）如圖二，F是拋物線的對稱軸l上的一點，在拋物線上是否存在點P，使△POF成為以點P為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）N（0，）；（3）存在，理由：見解析.

【解析】

（1）設(shè)拋物線與x軸的另一個交點為D，由對稱性得：D（3，0），設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-1）（x-3），把A（0，3）代入得：3=3a，a=1，即可求解；

（2）過點A作傾斜角為45°的直線AH，過點P作PH⊥AH于點H，交OE于點M、交y軸于點N，則點N為所求，即可求解；

（3）分P在對稱軸的左邊，且在x軸下方、P在對稱軸的左邊，且在x軸上方、P在對稱軸的右邊，且在x軸下方、P在對稱軸的右邊，且在x軸上方四種情況，分別求解即可．

解：（1）設(shè)拋物線與x軸的另一個交點為D，

由對稱性得：D（3，0），

設(shè)拋物線的解析式為：y＝a（x﹣1）（x﹣3），

把A（0，3）代入得：3＝3a，a＝1，

∴拋物線的解析式；y＝x2﹣4x+3；

（2）如圖1，∵△AOE的面積是定值，所以當△OEP面積最大時，四邊形AOPE面積最大，

設(shè)P（m，m2﹣4m+3），

∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，∴∠AOE＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，

∴AE＝OA＝3，∴E（3，3），則OE的解析式為：y＝x，

過P作PG∥y軸，交OE于點G，∴G（m，m），

∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3，

∴S四邊形AOPE＝S△AOE+S△POE＝×3×3+PGAE＝+×3×（﹣m2+5m﹣3）＝﹣m2+，

∵﹣＜0，

∴當m＝時，S有最大值，此時點P（，﹣）；

過點A作傾斜角為45°的直線AH，過點P作PH⊥AH于點H，交OE于點M、交y軸于點N，則點N為所求，

則NH＝AN，

此時PM+MN+AN＝PM+MN+HN＝PH為最小值，

設(shè)直線PH的表達式為：y＝﹣x+b，將點P的坐標代入上式并解得：

直線PH的表達式為：y＝﹣x+，

故點N（0，）；

（3）存在，理由：

①當P在對稱軸的左邊，且在x軸下方時，如圖2，過P作MN⊥y軸，交y軸于M，交l于N，

∵△OPF是等腰直角三角形，且OP＝PF，

∴△OMP≌△PNF（AAS），

∴OM＝PN，

∵P（m，m2﹣4m+3），則﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，

解得：m＝（舍去）或

∴P的坐標為（，）；

②當P在對稱軸的左邊，且在x軸上方時，如圖3，

同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3，解得：m＝或（舍去），

故點P（，）；

③當P在對稱軸的右邊，且在x軸下方時，

如圖3，過P作MN⊥x軸于N，過F作FM⊥MN于M，

同理得△ONP≌△PMF，

∴PN＝FM，

則﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，

解得：m＝或（舍去），

P的坐標為（，）；

④當P在對稱軸的右邊，且在x軸上方時，

同理得m2﹣4m+3＝m﹣2，

解得：m＝或（舍去），

點P的坐標為：（，）；

綜上，點P的坐標為：（，）或（，）或（，）或（，）．