Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，9），與y軸交于點(diǎn)A（0，5），與x軸交于點(diǎn)E、B．

（1）求二次函數(shù)y=ax2+bx+c的表達(dá)式；
（2）過點(diǎn)A作AC平行于x軸，交拋物線于點(diǎn)C，點(diǎn)P為拋物線上的一點(diǎn)（點(diǎn)P在AC上方），作PD平行與y軸交AB于點(diǎn)D，問當(dāng)點(diǎn)P在何位置時(shí)，四邊形APCD的面積最大？并求出最大面積；
（3）若點(diǎn)M在拋物線上，點(diǎn)N在其對(duì)稱軸上，使得以A、E、N、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，且AE為其一邊，求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣2）2+9，

∵拋物線與y軸交于點(diǎn)A（0，5），

∴4a+9=5，

∴a=﹣1，

y=﹣（x﹣2）2+9=﹣x2+4x+5

（2）

解：當(dāng)y=0時(shí)，﹣x2+4x+5=0，

∴x1=﹣1，x2=5，

∴E（﹣1，0），B（5，0），

設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n，

∵A（0，5），B（5，0），

∴m=﹣1，n=5，

∴直線AB的解析式為y=﹣x+5；

設(shè)P（x，﹣x2+4x+5），

∴D（x，﹣x+5），

∴PD=﹣x2+4x+5+x﹣5=﹣x2+5x，

∵AC=4，

∴S四邊形APCD= ×AC×PD=2（﹣x2+5x）=﹣2x2+10x，

∴當(dāng)x=﹣ = 時(shí)，

∴S四邊形APCD最大=

（3）

解：如圖，

過M作MH垂直于對(duì)稱軸，垂足為H，

∵M(jìn)N∥AE，MN=AE，

∴△HMN≌△AOE，

∴HM=OE=1，

∴M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=3或x=1，

當(dāng)x=1時(shí)，M點(diǎn)縱坐標(biāo)為8，

當(dāng)x=3時(shí)，M點(diǎn)縱坐標(biāo)為8，

∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為M1（1，8）或M2（3，8），

∵A（0，5），E（﹣1，0），

∴直線AE解析式為y=5x+5，

∵M(jìn)N∥AE，

∴MN的解析式為y=5x+b，

∵點(diǎn)N在拋物線對(duì)稱軸x=2上，

∴N（2，10+b），

∵AE2=OA2+0E2=26

∵M(jìn)N=AE

∴MN2=AE2，

∴MN2=（2﹣1）2+[8﹣（10+b）]2=1+（b+2）2

∵M(jìn)點(diǎn)的坐標(biāo)為M1（1，8）或M2（3，8），

∴點(diǎn)M1，M2關(guān)于拋物線對(duì)稱軸x=2對(duì)稱，

∵點(diǎn)N在拋物線對(duì)稱軸上，

∴M1N=M2N，

∴1+（b+2）2=26，

∴b=3，或b=﹣7，

∴10+b=13或10+b=3

∴當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，8）時(shí)，N點(diǎn)坐標(biāo)為（2，13），

當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，8）時(shí)，N點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3）

【解析】（1）設(shè)出拋物線解析式，用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出直線AB解析式，設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)（x，﹣x2+4x+5），建立函數(shù)關(guān)系式S四邊形APCD=﹣2x2+10x，根據(jù)二次函數(shù)求出極值；（3）先判斷出△HMN≌△AOE，求出M點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而求出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)．此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式，函數(shù)極值的確定方法，平行四邊形的性質(zhì)和判定，解本題的關(guān)鍵是建立函數(shù)關(guān)系式求極值．
【考點(diǎn)精析】掌握二次函數(shù)的最值是解答本題的根本，需要知道如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時(shí)，y最值=(4ac-b2)/4a．