Question

當(dāng)0°＜α＜60°時(shí)，下列關(guān)系式中有且僅有一個(gè)正確．
A.
B.
C.
（1）正確的選項(xiàng)是______；
（2）如圖1，△ABC中，AC=1，∠B=30°，∠A=α，請(qǐng)利用此圖證明（1）中的結(jié)論；
（3）兩塊分別含45°和30°的直角三角板如圖2方式放置在同一平面內(nèi)，BD=，求S_△ADC．

Answer 1

解：（1）C．
2sin（α+30°）=2（sinα•cos30°+cosα•sin30°）=．
故答案選C．

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．
∵∠B=30°，∠BAC=α，AC=1，
∴∠ACD=α+30°．
∴在△ADC中，∠ADC=90°，AD=AC•sin∠ACD=sin（α+30°）．
∵在△ABD中，∠ADB=90°，∠B=30°，
∴AB=2AD=2sin（α+30°）
過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于E．
∴在△CEA中，∠AEC=90°，CE=sinα，AE=cosα．
在△BEC中，∠BEC=90°，．
∴．
∴．

（3）由上面證明的等式易得．
如圖，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．
∵△ABD和△BCD是兩個(gè)含45°和30°的直角三角形，BD=，
∴∠ADG=75°，AD=8，．
∵sin75°=sin（45°+30°）==．
∴在△ADG中，∠AGD=90°，．
∴S_△ADC===．
分析：（1）利用關(guān)系式sin（α+β）=sinα•cosβ+cosα•sinβ即可解答．
（2）構(gòu)造直角三角形，過(guò)A、C點(diǎn)作AD⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，CE⊥AB于E，根據(jù)三角函數(shù)知識(shí)，可用α表示出AB的長(zhǎng)度，再表示出AE和BE的長(zhǎng)度，AB=AE+BE，分別讓帶有α兩式相等即可．
（3）要求三角形的面積，必須找到三角形的一邊和這條邊上的高；過(guò)點(diǎn)A作AG⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于G點(diǎn)．根據(jù)題意可知CD和AD的長(zhǎng)度，和∠ADG的度數(shù)，根據(jù)上述得出的結(jié)論，可以求出∠的正弦值，在直角三角形ADG中，AD已知，根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系式即可得出AG的長(zhǎng)度，代入S_△ADC的面積公式即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)和化積差的函數(shù)式，要求學(xué)生掌握正余弦、正余切的和化積差和積差化和，熟練應(yīng)用．