Question

在矩形ABCD中，點(diǎn)E是AD邊上一點(diǎn)，連接BE，且∠ABE=30°，BE=DE，連接BD．點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)沿射線ED運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PQ∥BD交直線BE于點(diǎn)Q．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段ED上時(shí)（如圖1），求證：BE=PD+

3

3

PQ；
（2）若BC=6，設(shè)PQ長(zhǎng)為x，以P、Q、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)所構(gòu)成的三角形面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量x的取值范圍）；
（3）在②的條件下，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線段ED的中點(diǎn)時(shí)，連接QC，過點(diǎn)P作PF⊥QC，垂足為F，PF交對(duì)角線BD于點(diǎn)G（如圖2），求線段PG的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：∵∠A=90°∠ABE=30°，
∴∠AEB=60°．
∵EB=ED，
∴∠EBD=∠EDB=30°．
∵PQ∥BD，
∴∠EQP=∠EBD．
∠EPQ=∠EDB．
∴∠EPQ=∠EQP=30°，
∴EQ=EP．
過點(diǎn)E作EM⊥QP垂足為M．則PQ=2PM．
∵∠EPM=30°，∴PM=

3

2

PE，PE=

3

3

PQ．
∵BE=DE=PD+PE，
∴BE=PD+

3

3

PQ．

（2）由題意知AE=

1

2

BE，
∴DE=BE=2AE．
∵AD=BC=6，
∴2AE=DE=BE=4．
當(dāng)點(diǎn)P在線段ED上時(shí)（如圖1），
過點(diǎn)Q做QH⊥AD于點(diǎn)H，則QH=

1

2

PQ=

1

2

x．
由（1）得PD=BE-

3

3

x，PD=4-

3

3

x．
∴y=

1

2

PD•QH=-

3

12

x2+x．
當(dāng)點(diǎn)P在線段ED的延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖2），
過點(diǎn)Q作QH′⊥DA交DA延長(zhǎng)線于點(diǎn)H′，
∴QH′=

1

2

x．
過點(diǎn)E作EM′⊥PQ于點(diǎn)M′，同理可得EP=EQ=

3

3

PQ，
∴BE=

3

3

PQ-PD，
∴PD=

3

3

x-4，
∴y=

1

2

PD•QH′=

3

12

x2-x．

（3）連接PC交BD于點(diǎn)N（如圖3）．
∵點(diǎn)P是線段ED中點(diǎn)，
∴EP=PD=2，PQ=2

3

．
∵DC=AB=AE•tan60°=2

3

，
∴PC=

PD2+DC2

=4．
∴cos∠DPC=

PD

PC

=

1

2

．
∴∠DPC=60°．
∴∠QPC=180°-∠EPQ-∠DPC=90°．
∵PQ∥BD，
∴∠PND=∠QPC=90°．
∴PN=

1

2

PD=1．
QC=

PQ2+PC2

=2

7

．
∵∠PGN=90°-∠FPC，∠PCF=90°-∠FPC，
∴∠PGN=∠PCF．
∵∠PNG=∠QPC=90°，
∴△PNG∽△QPC，
∴

PG

QC

=

PN

PQ

，
∴PG=

1

2 3

×2

7

=

21

3

．