已知，如圖，在直角坐標系中，矩形OABC的對角線AC所在直線解析式為y=-
3
3
x+1．
（1）在x軸上存在這樣的點M，使AMB為等腰三角形，求出所有符合要求的點M的坐標；
（2）動點P從點C開始在線段CO上以每秒
3
個單位長度的速度向點O移動，同時，動點Q從點O開始在線段OA上以每秒1個單位長度的速度向點A移動．設(shè)P、Q移動的時間為t秒．
①是否存在這樣的時刻2，使△OPQ與△BCP相似，并說明理由；
②設(shè)△BPQ的面積為S，求S與t間的函數(shù)關(guān)系式，并求出t為何值時，S有最小值．
（1）易知A（0，1），C（
3
，0），B（
3
，1）．
①AB為腰且MA=AB時，
由題意可知，AM2=AB=
3
，
∴OM2=
2
．
∴M2（
2
，0），由對稱性知M4（-
2
，0），
②AB為腰且MB=AB時，
由題意得OM4=OC-CM4=
3
-
2
，
∴M1（
3
-
2
，0），
由對稱性可知M3（
3
+
2
，0），
③AB為底邊，則M5（
1
2
3
，0）；

（2）①假設(shè)存在這樣的時刻t，使△OPQ與△BCP相似．
∵CP=
3
t，OQ=t，OP=
3
-
3
t，
由
OQ
BC
=
OP
CP
或
OQ
CP
=
OP
BC
得：
t
1
=
3
-
3
t
3
t
或
t
3
t
=
3
-
3
t
t
，
即t2+t-1=0或3t=2，
解得t=
-1±
5
2
或t=
2
3
．
又∵0≤t≤1，
∴當t=
-1+
5
2
或t=
2
3
時，△OPQ與△BCP相似．（7分）
②S=S矩形OABC-S△ABQ-S△OPQ-S△BCP
=
3
-
3
2
（1-t）-
1
2
t（
3
-
3
t）-
1
2
•
3
t
=
3
2
(t2-t+1)
=
3
2
（t-
1
2
）2+
3
3
8

當t=
1
2
時，面積S有最小值，最小值是
3
3
8
．（10分）
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

如圖，在拋物線y=-
2
3
x2上取B1（
3
2
，-
1
2
），在y軸負半軸上取一個點A1，使△OB1A1為等邊三角形；然后在第四象限取拋物線上的點B2，在y軸負半軸上取點A2，使△A1B2A2為等邊三角形；重復以上的過程，可得△A99B100A100，則A100的坐標為______．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標系中，點O是原點，矩形OABC的頂點A在x軸的正半軸上，頂點C在y的正半軸上，點B的坐標是（5，3），拋物線y=
3
5
x2+bx+c經(jīng)過A、C兩點，與x軸的另一個交點是點D，連接BD．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點M是拋物線對稱軸上的一點，以M、B、D為頂點的三角形的面積是6，求點M的坐標；
（3）點P從點D出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿D→B勻速運動，同時點Q從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿B→A→D勻速運動，當點P到達點B時，P、Q同時停止運動，設(shè)運動的時間為t秒，當t為何值時，以D、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形？請直接寫出所有符合條件的值．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線y=ax2+bx+c的頂點為A（3，-3），與x軸的一個交點為B（1，0）．
（1）求拋物線的解析式．
（2）P是y軸上一個動點，求使P到A、B兩點的距離之和最小的點P0的坐標．
（3）設(shè)拋物線與x軸的另一個交點為C．在拋物線上是否存在點M，使得△MBC的面積等于以點A、P0、B、C為頂點的四邊形面積的三分之一？若存在，請求出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點A，B，AB=2，與y軸交于點C，對稱軸為直線x=2．
（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）設(shè)P為對稱軸上一動點，求△APC周長的最小值；
（3）設(shè)D為拋物線上一點，E為對稱軸上一點，若以點A，B，D，E為頂點的四邊形是菱形，則點D的坐標為______．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知：如圖，△ABC是邊長3cm的等邊三角形，動點P、Q同時從A、B兩點出發(fā)，分別沿AB、BC方向勻速移動，它們的速度都是1cm/s，當點P到達點B時，P、Q兩點停止運動．設(shè)點P的運動時間為t（s），解答下列問題：
（1）當t為何值時，△PBQ是直角三角形？
（2）設(shè)四邊形APQC的面積為y（cm2），求y與t的關(guān)系式；是否存在某一時刻t，使四邊形APQC的面積是△ABC面積的三分之二？如果存在，求出相應(yīng)的t值；不存在，說明理由；
（3）設(shè)PQ的長為x（cm），試確定y與x之間的關(guān)系式．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖1，在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3．M是邊AB上的動點（M不與A，B重合），MN∥BC交AC于點N，△AMN關(guān)于MN的對稱圖形是△PMN．設(shè)AM=x．
（1）用含x的式子表示△AMN的面積（不必寫出過程）；
（2）當x為何值時，點P恰好落在邊BC上；
（3）在動點M的運動過程中，記△PMN與梯形MBCN重疊部分的面積為y，試求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；并求x為何值時，重疊部分的面積最大，最大面積是多少？

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

問題情境
已知矩形的面積為a（a為常數(shù)，a＞0），當該矩形的長為多少時，它的周長最��？最小值是多少？
數(shù)學模型
設(shè)該矩形的長為x，周長為y，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=2(x+
a
x
)(x＞0)．
探索研究
（1）我們可以借鑒學習函數(shù)的經(jīng)驗，先探索函數(shù)y=x+
1
x
(x＞0)的圖象性質(zhì)．
1填寫下表，畫出函數(shù)的圖象：
x…
1
4
1
3
1
2
1234…
y……
②觀察圖象，寫出該函數(shù)兩條不同類型的性質(zhì)；
③在求二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的最大（小）值時，除了通過觀察圖象，除了通過觀察圖象，還可以通過配方得到．同樣通過配方也可以求函數(shù)y=x+
1
x
（x＞0）的最小值．y=x+
1
x
=(
x
)2+(
1
x
)2=(
x
)2+(
1
x
)2-2
x
•
1
x
+2
x
•
1
x

=(
x
-
1
x
)2+2≥2
當
x
-
1
x
=0，即x=1時，函數(shù)y=x+
1
x
（x＞0）的最小值為2．
解決問題
（2）解決“問題情境”中的問題，直接寫出答案．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在矩形ABCD中，點E是AD邊上一點，連接BE，且∠ABE=30°，BE=DE，連接BD．點P從點E出發(fā)沿射線ED運動，過點P作PQ∥BD交直線BE于點Q．
（1）當點P在線段ED上時（如圖1），求證：BE=PD+
3
3
PQ；
（2）若BC=6，設(shè)PQ長為x，以P、Q、D三點為頂點所構(gòu)成的三角形面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量x的取值范圍）；
（3）在②的條件下，當點P運動到線段ED的中點時，連接QC，過點P作PF⊥QC，垂足為F，PF交對角線BD于點G（如圖2），求線段PG的長．

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同步練習冊答案