如圖1，在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3．M是邊AB上的動(dòng)點(diǎn)（M不與A，B重合），MN∥BC交AC于點(diǎn)N，△AMN關(guān)于MN的對(duì)稱(chēng)圖形是△PMN．設(shè)AM=x．
（1）用含x的式子表示△AMN的面積（不必寫(xiě)出過(guò)程）；
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，點(diǎn)P恰好落在邊BC上；
（3）在動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，記△PMN與梯形MBCN重疊部分的面積為y，試求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；并求x為何值時(shí)，重疊部分的面積最大，最大面積是多少？
（1）S△AMN=
3
8
x2（3）；

（2）如圖2，由軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)知：AM=PM，∠AMN=∠PMN，（4分）
又MN∥BC，∴∠PMN=∠BPM，∠AMN=∠B，（5）
∴∠B=∠BPM∴AM=PM=BM（6分）
∴點(diǎn)M是AB中點(diǎn)，即當(dāng)x=
1
2
AB=2時(shí)，點(diǎn)P恰好落在邊BC上．（7分）

（3）（i）以下分兩種情況討論：
①當(dāng)0＜x≤2時(shí)，易見(jiàn)y=
3
8
x2（8分）
②當(dāng)2＜x＜4時(shí)，如圖3，設(shè)PM，PN分別交BC于E，F(xiàn)
由（2）知ME=MB=4-x，
∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4
由題意知△PEF∽△ABC，
∴(
PE
AB
)2=
S△PEF
S△ABC
，
∴S△PEF=
3
2
(x-2)2
∴y=S△PMN-S△PEF=
3
8
x2-
3
2
(x-2)2=-
9
8
x2+6x-6
∴y=
3
8
x2(0＜x≤2)
-
9
8
x2+6x-6(2＜x＜4)

（ii）∵當(dāng)0＜x≤2時(shí)，y=
3
8
x2
∴易知y最大=
3
8
×22=
3
2
（11分）
又∵當(dāng)2＜x＜4時(shí)，y=-
9
8
x2+6x-6=-
9
8
（x-
8
3
）2+2．
∴當(dāng)x=
8
3
時(shí)（符合2＜x＜4），y最大=2，（12分）
綜上所述，當(dāng)x=
8
3
時(shí)，重疊部分的面積最大，其值為2．（13分）
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知：如圖一次函數(shù)y=
1
2
x+1的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B；二次函數(shù)y=
1
2
x2+bx+c的圖象與一次函數(shù)y=
1
2
x+1的圖象交于B、C兩點(diǎn)，與x軸交于D、E兩點(diǎn)且D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）求四邊形BDEC的面積S；
（3）在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得△PBC是以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形？若存在，求出所有的點(diǎn)P，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）過(guò)點(diǎn)A（1，-3），B（3，-3），C（-1，5），頂點(diǎn)為M點(diǎn)．
（1）求該拋物線的解析式．
（2）試判斷拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使∠POM=90°．若不存在，說(shuō)明理由；若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）試判斷拋物線上是否存在一點(diǎn)K，使∠OMK=90°，若不存在，說(shuō)明理由；若存在，求出K點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形OMN的斜邊ON在x軸上，頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，3），MH為斜邊上的高．拋物線C：y=-
1
4
x2+nx與直線y=
1
2
x及過(guò)N點(diǎn)垂直于x軸的直線交于點(diǎn)D．點(diǎn)P（m，0）是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線，交射線OM于點(diǎn)E．設(shè)以M、E、H、N為頂點(diǎn)的四邊形的面積為S．
（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)及n的值；
（2）判斷拋物線C的頂點(diǎn)是否在直線OM上？并說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)m≠3時(shí)，求S與m的函數(shù)關(guān)系式；
（4）如圖2，設(shè)直線PE交射線OD于R，交拋物線C于點(diǎn)Q，以RQ為一邊，在RQ的右側(cè)作矩形RQFG，其中RG=
3
2
，直接寫(xiě)出矩形RQFG與等腰直角三角形OMN重疊部分為軸對(duì)稱(chēng)圖形時(shí)m的取值范圍．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=-2x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-3，0）和點(diǎn)B（0，6）．
（1）求此二次函數(shù)的解析式；
（2）將這個(gè)二次函數(shù)的圖象向右平移5個(gè)單位后的頂點(diǎn)設(shè)為C，直線BC與x軸相交于點(diǎn)D，求∠ABD的正弦值；
（3）在第（2）小題的條件下，聯(lián)結(jié)OC，試探究直線AB與OC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知平面直角坐標(biāo)系中，A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（0，2）、（0，-2），（4，-2）．
（1）請(qǐng)?jiān)诮o出的直角坐標(biāo)系xOy中畫(huà)出△ABC，設(shè)AC交X軸于點(diǎn)D，連接BD，證明：OD平分∠ADB；
（2）請(qǐng)?jiān)趚軸上找出點(diǎn)E，使四邊形AOCE為平行四邊形，寫(xiě)出E點(diǎn)坐標(biāo)，并證明四邊形AOCE是平行四邊形；
（3）設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，且以CE所在直線為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線的頂點(diǎn)為F，求直線FA的解析式．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知拋物線y=-x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（m，0）、B（0，n），其中m、n是方程x2-6x+5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且m＜n．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)（1）中的拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，拋物線的頂點(diǎn)為D，求C、D點(diǎn)的坐標(biāo)和△BCD的面積；
（3）P是線段OC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)H，若直線BC把△PCH分成面積相等的兩部分，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，直線AB、CD分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1）和（0，2）且平行于x軸，圖1中射線OA為正比例函數(shù)y=kx（k＞0）在第一象限的部分圖象，射線OB與OA關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；圖2為二次函數(shù)y=ax2（a＞0）的圖象．
（1）如圖l，求證：
AB
CD
=
1
2
；
（2）如圖2，探索：
AB
CD
的值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知，如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的對(duì)角線AC所在直線解析式為y=-
3
3
x+1．
（1）在x軸上存在這樣的點(diǎn)M，使AMB為等腰三角形，求出所有符合要求的點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開(kāi)始在線段CO上以每秒
3
個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)O移動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O開(kāi)始在線段OA上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A移動(dòng)．設(shè)P、Q移動(dòng)的時(shí)間為t秒．
①是否存在這樣的時(shí)刻2，使△OPQ與△BCP相似，并說(shuō)明理由；
②設(shè)△BPQ的面積為S，求S與t間的函數(shù)關(guān)系式，并求出t為何值時(shí)，S有最小值．

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同步練習(xí)冊(cè)答案