Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象交x軸于A（﹣2，0），B（1，0），交y軸于C（0，2）．

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）連接AC，在直線AC上方的拋物線上是否存在點(diǎn)N，使△NAC的面積最大，若存在，求出這個(gè)最大值及此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由；

（3）若點(diǎn)M在x軸上，是否存在點(diǎn)M，使以B、C、M為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，若存在，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；

（4）若P為拋物線上一點(diǎn)，過(guò)P作PQ⊥BC于Q，在y軸左側(cè)的拋物線是否存在點(diǎn)P使△CPQ∽△BCO（點(diǎn)C與點(diǎn)B對(duì)應(yīng)），若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣x+2；（2）N（﹣1，2），△ANC的面積有最大值為1；（3）M的坐標(biāo)為（﹣1，0）或（，0）或（，0）；（4）點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（﹣1，2）或（， ）．

【解析】試題分析：（1）利用交點(diǎn)式求二次函數(shù)的解析式；

（2）求直線AC的解析式，作輔助線ND，根據(jù)拋物線的解析式表示N的坐標(biāo)，根據(jù)直線AC的解析式表示D的坐標(biāo)，表示ND的長(zhǎng)，利用鉛直高度與水平寬度的積求三角形ANC的面積，根據(jù)二次函數(shù)的最值可得面積的最大值，并計(jì)算此時(shí)N的坐標(biāo)；

（3）分三種情況：當(dāng)B、C、M為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，分別以三邊為腰，畫圖形，求M的坐標(biāo)即可；

（4）存在兩種情況：①如圖4，點(diǎn)P1與點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱時(shí)符合條件；

②如圖5，圖3中的M（﹣，0）時(shí)，MB=MC，設(shè)CM與拋物線交于點(diǎn)P2，則△CP2Q∽△BCO，P2為直線CM的拋物線的交點(diǎn)．

試題解析：

解：（1）∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象交x軸于A（﹣2，0），B（1，0），

設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=a（x+2）（x﹣1），

把C（0，2）代入得：2=a（0+2）（0﹣1），

a=﹣1，

∴y=﹣（x+2）（x﹣1）=﹣x2﹣x+2，

∴二次函數(shù)的解析式為：y=﹣x2﹣x+2.

（2）如圖1，過(guò)N作ND∥y軸，交AC于D，設(shè)N（n，﹣n2﹣n+2），

設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，

把A（﹣2，0）、C（0，2）代入得： ，

解得： ，

∴直線AC的解析式為：y=x+2，

∴D（n，n+2），

∴ND=（﹣n2﹣n+2）﹣（n+2）=﹣n2﹣2n，

∴S△ANC=×2×[﹣n2﹣2n]=﹣n2﹣2n=﹣（n+1）2+1，

∴當(dāng)n=﹣1時(shí)，△ANC的面積有最大值為1，此時(shí)N（﹣1，2），

（3）存在，分三種情況：

①如圖2，當(dāng)BC=CM1時(shí)，M1（﹣1，0）.

②如圖2，由勾股定理得：BC==，

以B為圓心，以BC為半徑畫圓，交x軸于M2、M3，則BC=BM2=BM3=，

此時(shí)，M2（1﹣，0），M3（1+，0）.

③如圖3，作BC的中垂線，交x軸于M4，連接CM4，則CM4=BM4，

設(shè)OM4=x，則CM4=BM4=x+1，

由勾股定理得：22+x2=（1+x）2，

解得：x=，

∵M4在x軸的負(fù)半軸上，

∴M4（﹣，0），

綜上所述，當(dāng)B、C、M為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，M的坐標(biāo)為（﹣1，0）或（1±，0）或（﹣，0）.

（4）存在兩種情況：

①如圖4，過(guò)C作x軸的平行線交拋物線于P1，過(guò)P1作P1Q⊥BC，

此時(shí)，△CP1Q∽△BCO，

∴點(diǎn)P1與點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，

∴P1（﹣1，2），

②如圖5，由（3）知：當(dāng)M（﹣，0）時(shí)，MB=MC，設(shè)CM與拋物線交于點(diǎn)P2，

過(guò)P2作P2Q⊥BC，此時(shí)，△CP2Q∽△BCO，

易得直線CM的解析式為：y=x+2，

則，

解得：P2（﹣，﹣），

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（﹣1，2）或（﹣，﹣）．