【題目】如圖,矩形ABCD中,O為AC中點,過點O的直線分別與AB、CD交于點E、F,連結BF交AC于點M,連結DE、BO.若∠COB=60°,F(xiàn)O=FC,則下列結論:①FB垂直平分OC;②△EOB≌△CMB;③DE=EF;④S△AOE:S△BCM=2:3.其中正確結論的個數(shù)是(
A.4個
B.3個
C.2個
D.1個

【答案】B
【解析】解:①∵矩形ABCD中,O為AC中點,

∴OB=OC,

∵∠COB=60°,

∴△OBC是等邊三角形,

∴OB=BC,

∵FO=FC,

∴FB垂直平分OC,

故①正確;

②∵△BOC為等邊三角形,F(xiàn)O=FC,

∴BO⊥EF,BF⊥OC,

∴∠CMB=∠EOB=90°,

∴BO≠BM,

∴△EOB與△CMB不全等;

故②錯誤;

③易知△ADE≌△CBF,∠1=∠2=∠3=30°,

∴∠ADE=∠CBF=30°,∠BEO=60°,

∴∠CDE=60°,∠DFE=∠BEO=60°,

∴∠CDE=∠DFE,

∴DE=EF,

故③正確;

④易知△AOE≌△COF,

∴S△AOE=S△COF,

∵S△COF=2S△CMF,

∴S△AOE:S△BCM=2S△CMF:S△BCM=

∵∠FCO=30°,

∴FM= ,BM= CM,

=

∴S△AOE:S△BCM=2:3,

故④正確;

所以其中正確結論的個數(shù)為3個;

故選B

①利用線段垂直平分線的性質的逆定理可得結論;②在△EOB和△CMB中,對應直角邊不相等,則兩三角形不全等;③可證明∠CDE=∠DFE;④可通過面積轉化進行解答.

練習冊系列答案
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