Question

【題目】(10分)如圖1，在△ABC中，∠ACB為銳角，點(diǎn)D為射線BC上一點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．（提示：正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角）

（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，

①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)（與點(diǎn)B不重合），如圖2，線段CF、BD所在直線的位置關(guān)系為______，線段CF、BD的數(shù)量關(guān)系為______；

②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí)，如圖3，①中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；

（2）如果AB≠AC，∠BAC是銳角，點(diǎn)D在線段BC上，當(dāng)∠ACB滿足 條件時(shí)，CF⊥BC（點(diǎn)C、F不重合），并說明理由．

Answer 1

【答案】(1)垂直，相等；(2)45°

【解析】試題分析：(1)①證明△BAD≌△CAF，可得：BD=CF，∠B=∠ACF=45°，則∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，所以BD與CF相等且垂直；②①的結(jié)論仍成立，同理證明△DAB≌△FAC，可得結(jié)論：垂直且相等；

(2)、當(dāng)∠ACB滿足45°時(shí)，CF⊥BC；如圖4，作輔助線，證明△QAD≌△CAF，即可得出結(jié)論．

試題解析：(1)、①CF與BD位置關(guān)系是垂直，數(shù)量關(guān)系是相等，

理由是： 如圖2，∵四邊形ADEF是正方形， ∴AD=AF，∠DAF=90°， ∴∠DAC+∠CAF=90°， ∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠BAD+∠DAC=90°，且∠B=∠ACB=45°，∴∠CAF=∠BAD， ∴△BAD≌△CAF，

∴BD=CF，∠B=∠ACF=45°， ∴∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，即∠BCF=90°，∴BC⊥CF，即BD⊥CF；

②當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長線上時(shí)，①的結(jié)論仍成立，理由是：

如圖3，由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90°， ∵∠BAC=90°， ∴∠DAF=∠BAC，

∴∠DAB=∠FAC， 又∵AB=AC， ∴△DAB≌△FAC， ∴CF=BD， ∠ACF=∠ABD，

∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠ABC=45°， ∴∠ACF=∠ABC=45° ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，

即CF⊥BD；

(2)、當(dāng)∠BCA=45°時(shí)，CF⊥BD，理由是： 如圖4，過點(diǎn)A作AQ⊥AC，交BC于點(diǎn)Q， ∵∠BCA=45°， ∴∠AQC=45°， ∴∠AQC=∠BCA， ∴AC=AQ，

∵AD=AF，∠QAC=∠DAF=90°， ∴∠QAC﹣∠DAC=∠DAF﹣∠DAC， ∴∠QAD=∠CAF，

∴△QAD≌△CAF， ∴∠ACF=∠AQD=45°， ∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°， 即CF⊥BD．