Question

【題目】如圖所示，△ABC是等腰直角三角形，BC=AC，直角頂點(diǎn)C在x軸上，一銳角頂點(diǎn)B在y軸上．

（1）如圖1所示，若AD于垂直x軸，垂足為點(diǎn)D．點(diǎn)C坐標(biāo)是（-1，0），點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-3，1），求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）如圖2，若y軸恰好平分∠ABC，AC與y軸交于點(diǎn)D，過點(diǎn)A作AE⊥y軸于E，問BD與AE有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）如圖3，直角邊BC在兩坐標(biāo)軸上滑動(dòng)，使點(diǎn)A在第四象限內(nèi)，過A點(diǎn)作AF⊥y軸于F，在滑動(dòng)的過程中，兩個(gè)結(jié)論①為定值；②為定值，只有一個(gè)結(jié)論成立，請你判斷正確的結(jié)論加以證明，并求出這個(gè)定值．

Answer 1

【答案】（1）（0，2）；（2）BD=2AE，理由見解析；（3）=1，理由見解析

【解析】

（1）只要求出Rt△ADC≌Rt△COB即可求；

（2）延長BC，AE交于點(diǎn)F，可證△ACF≌△BCD，可證△ABE≌△FBE，即可求得BD=2AE；

（3）作AE⊥OC，則AF=OE，可證△BCO≌△ACE，可得AF+OB=OC，即可解題．

解：∵點(diǎn)C坐標(biāo)是（-1，0），點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-3，1），

∴AD=OC，

在Rt△ADC和Rt△COB中

，

∴Rt△ADC≌Rt△COB（HL），

∴OB=CD=2，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，2）；

（2）延長BC，AE交于點(diǎn)F，

∵AC=BC，AC⊥BC，

∴∠BAC=∠ABC=45°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠CBD=22.5°，∠DAE=90°-∠ABD-∠BAD=22.5°，

在△ACF和△BCD中，

，

∴△ACF≌△BCD（ASA），

∴AF=BD，

在△ABE和△FBE中，

，

∴△ABE≌△FBE（ASA），

∴AE=EF，

∴BD=2AE；

（3）作AE⊥OC，則AF=OE，

∵∠CBO+∠OBC=90°，∠OBC+∠ACO=90°，

∴∠ACO=∠CBO，

在△BCO和△ACE中，

，

∴△BCO≌△ACE（AAS），

∴CE=OB，

∴OB+AF=OC．

∴=1．