Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx﹣5交y軸于點A，交x軸于點B（﹣5，0）和點C（1，0），過點A作AD∥x軸交拋物線于點D．

（1）求此拋物線的表達式；

（2）點E是拋物線上一點，且點E關(guān)于x軸的對稱點在直線AD上，求△EAD的面積；

（3）若點P是直線AB下方的拋物線上一動點，當(dāng)點P運動到某一位置時，△ABP的面積最大，求出此時點P的坐標和△ABP的最大面積．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+4x﹣5；（2）20；（3）

【解析】

（1）根據(jù)題意可以求得a、b的值，從而可以求得拋物線的表達式；（2）根據(jù)題意可以求得AD的長和點E到AD的距離，從而可以求得△EAD的面積；（3）根據(jù)題意可以求得直線AB的函數(shù)解析式，再根據(jù)題意可以求得△ABP的面積，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解答本題．

（1）∵拋物線y=ax2+bx﹣5交y軸于點A，交x軸于點B（﹣5，0）和點C（1，0），

∴，得，

∴此拋物線的表達式是y=x2+4x﹣5；

（2）∵拋物線y=x2+4x﹣5交y軸于點A，

∴點A的坐標為（0，﹣5），

∵AD∥x軸，點E是拋物線上一點，且點E關(guān)于x軸的對稱點在直線AD上，

∴點E的縱坐標是5，點E到AD的距離是10，

當(dāng)y=﹣5時，﹣5=x2+4x﹣5，得x=0或x=﹣4，

∴點D的坐標為（﹣4，﹣5），

∴AD=4，

∴△EAD的面積是：=20；

（3）設(shè)點P的坐標為（p，p2+4p﹣5），如右圖所示，

設(shè)過點A（0，﹣5），點B（﹣5，0）的直線AB的函數(shù)解析式為y=mx+n，

，得，

即直線AB的函數(shù)解析式為y=﹣x﹣5，

當(dāng)x=p時，y=﹣p﹣5，

∵OB=5，

∴△ABP的面積是：S=，

∵點P是直線AB下方的拋物線上一動點，

∴﹣5＜p＜0，

∴當(dāng)p=﹣時，S取得最大值，此時S= ，點p的坐標是（-，﹣），

即點p的坐標是（-，﹣）時，△ABP的面積最大，此時△ABP的面積是．