Question

【題目】在正方形ABCD中，E是CD邊上一點(diǎn)（CE>DE），AE，BD交于點(diǎn)F．

（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)F作GH⊥AE，分別交邊AD，BC于點(diǎn)G，H．

求證：∠EAB=∠GHC；

（2）AE的垂直平分線分別與AD，AE，BD交于點(diǎn)P，M，N，連接CN．

①依題意補(bǔ)全圖形；

圖1 備用圖

②用等式表示線段AE與CN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①補(bǔ)全圖形，如圖所示．②．詳見解析

【解析】

（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，有AD∥BC，∠BAD=90°，得到∠AGH=∠GHC，再根據(jù)GH⊥AE，得到∠EAB=∠AGH，即可證明．

（2）①根據(jù)垂直平分線的作法步驟進(jìn)行即可．

②連接AN，連接EN并延長(zhǎng)，交AB邊于點(diǎn)Q，根據(jù)正方形的性質(zhì)，得到NA=NC，∠1=∠2，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，得到NA=NE，進(jìn)而得到NC=NE，∠3=∠4，在正方形ABCD中，BA∥CE，∠BCD=90°，得到∠AQE=∠4，∠1+∠AQE=∠2+∠3=90°，∠ANE=∠ANQ=90°，最后在Rt△ANE中，即可求解．

（1）證明：在正方形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，

∴∠AGH=∠GHC．

∵GH⊥AE，

∴∠EAB=∠AGH．

∴∠EAB=∠GHC．

（2）①補(bǔ)全圖形，如圖所示．

②．

證明：連接AN，連接EN并延長(zhǎng)，交AB邊于點(diǎn)Q．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴點(diǎn)A，點(diǎn)C關(guān)于BD對(duì)稱．

∴NA=NC，∠1=∠2．

∵PN垂直平分AE，

∴NA=NE．

∴NC=NE．

∴∠3=∠4．

在正方形ABCD中，BA∥CE，∠BCD=90°，

∴∠AQE=∠4．

∴∠1+∠AQE=∠2+∠3=90°．

∴∠ANE=∠ANQ=90°．

在Rt△ANE中，

∴．