【題目】【問題情境】
如圖1,四邊形ABCD是正方形,M是BC邊上的一點(diǎn),E是CD邊的中點(diǎn),AE平分∠DAM.
【探究展示】
(1)證明:AM=AD+MC;
(2)AM=DE+BM是否成立?若成立,請給出證明;若不成立,請說明理由.
【拓展延伸】
(3)若四邊形ABCD是長與寬不相等的矩形,其他條件不變,如圖2,探究展示(1)、(2)中的結(jié)論是否成立?請分別作出判斷,不需要證明.
【答案】(1)證明見解析;
成立;證明見解析;
(3)①結(jié)論AM=AD+MC仍然成立.
②結(jié)論AM=DE+BM不成立.
【解析】分析:(1)從平行線和中點(diǎn)這兩個條件出發(fā),延長AE、BC交于點(diǎn)N,如圖1(1),易證△ADE≌△NCE,從而有AD=CN,只需證明AM=NM即可.
(2)作FA⊥AE交CB的延長線于點(diǎn)F,易證AM=FM,只需證明FB=DE即可;要證FB=DE,只需證明它們所在的兩個三角形全等即可.
(3)在圖2(1)中,仿照(1)中的證明思路即可證到AM=AD+MC仍然成立;在圖2(2)中,采用反證法,并仿照(2)中的證明思路即可證到AM=DE+BM不成立.
本題解析:(1)證明:延長AE、BC交于點(diǎn)N,如圖1(1),
∵四邊形ABCD是正方形,∴AD∥BC.∴∠DAE=∠ENC.∵AE平分∠DAM,∴∠DAE=∠MAE.
∴∠ENC=∠MAE.∴MA=MN.
∴△ADE≌△NCE(AAS)
∴AD=NC.∴MA=MN=NC+MC=AD+MC.
(2)AM=DE+BM成立.
證明:過點(diǎn)A作AF⊥AE,交CB的延長線于點(diǎn)F,如圖1(2)所示.
∵四邊形ABCD是正方形,∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°,AB=AD,AB∥DC.
∵AF⊥AE,∴∠FAE=90°.∴∠FAB=90°﹣∠BAE=∠DAE.
∴△ABF≌△ADE(ASA).∴BF=DE,∠F=∠AED.∵AB∥DC,∴∠AED=∠BAE.
∵∠FAB=∠EAD=∠EAM,∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM=∠BAM+∠FAB=∠FAM.
∴∠F=∠FAM.∴AM=FM.∴AM=FB+BM=DE+BM.
(3)①結(jié)論AM=AD+MC仍然成立.
證明:延長AE、BC交于點(diǎn)P,如圖2(1),
∵四邊形ABCD是矩形,∴AD∥BC.∴∠DAE=∠EPC.∵AE平分∠DAM,∴∠DAE=∠MAE.
∴∠EPC=∠MAE.∴MA=MP.
∴△ADE≌△PCE(AAS).∴AD=PC.∴MA=MP=PC+MC=AD+MC.
②結(jié)論AM=DE+BM不成立.
證明:假設(shè)AM=DE+BM成立.過點(diǎn)A作AQ⊥AE,交CB的延長線于點(diǎn)Q,如圖2(2)所示.
∵四邊形ABCD是矩形,∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°,AB∥DC.∵AQ⊥AE,
∴∠QAE=90°.∴∠QAB=90°﹣∠BAE=∠DAE.∴∠Q=90°﹣∠QAB=90°﹣∠DAE=∠AED.
∵AB∥DC,∴∠AED=∠BAE.∵∠QAB=∠EAD=∠EAM,∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM
=∠BAM+∠QAB ∴∠Q=∠QAM.∴AM=QM.∴AM=QB+BM.∵AM=DE+BM,∴QB=DE.
∴△ABQ≌△ADE(AAS)∴AB=AD.與條件“AB≠AD“矛盾,故假設(shè)不成立.
∴AM=DE+BM不成立.
年級 | 高中課程 | 年級 | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】看過電視劇《西游記》的同學(xué),一定很喜歡孫悟空,孫悟空的金箍棒能隨意伸縮,假設(shè)它最短時只有1厘米,第1次變化后變成3厘米,第2次變化后變成9厘米,第3次變化后變成27厘米……照此規(guī)律變化下去,到第5次變化后金箍棒的長是________米.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】A是數(shù)軸上一點(diǎn),一只螞蟻從A出發(fā)爬了4個單位長度到了原點(diǎn),則點(diǎn)A所表示的數(shù)是_____.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有一組數(shù)據(jù):2,5,5,6,7,這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在一正方形ABCD中,E為對角線AC上一點(diǎn),連接EB、ED.
(1)求證:△BEC≌△DEC;
(2)延長BE交AD于點(diǎn)F,若∠DEB=150°.求∠AFE的度數(shù).
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列命題中,假命題是( 。
A. 鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直
B. 平行于同一直線的兩條直線互相平行
C. 垂直于同一直線的兩條直線互相垂直
D. 平行線的一組內(nèi)錯角的平分線互相平行
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,D是△ABC內(nèi)一點(diǎn),BD⊥CD,AD=6,BD=4,CD=3,E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點(diǎn),則四邊形EFGH的周長是__________ .
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將三角形三個頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)都減2,縱坐標(biāo)不變,則所得三角形與原三角形的關(guān)系是( )
A.將原三角形向左平移兩個單位
B.將原三角形向右平移兩個單位
C.關(guān)于x軸對稱
D.關(guān)于y軸對稱
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com