【題目】把兩個全等的等腰直角三角形ABC和EFG(其直角邊長均為4)疊放在一起(如圖①),且使三角板EFG的直角頂點(diǎn)G與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合.現(xiàn)將三角板EFG繞O點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角α滿足條件:0°<α<90°),四邊形CHGK是旋轉(zhuǎn)過程中兩三角板的重疊部分(如圖②).
(1)在上述旋轉(zhuǎn)過程中,BH與CK有怎樣的數(shù)量關(guān)系四邊形CHGK的面積有何變化?證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論;
(2)連接HK,在上述旋轉(zhuǎn)過程中,設(shè)BH=x,△GKH的面積為y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍;
(3)在(2)的前提下,是否存在某一位置,使△GKH的面積恰好等于△ABC面積的?若存在,求出此時x的值;若不存在,說明理由.
【答案】(1)、BH=CK;四邊形CHGK的面積不變;證明過程見解析;(2)、y=-2x+4(0<x<4);(3)、x=1或x=3.
【解析】
試題(1)連接CG,根據(jù)中線的性質(zhì)得出CG=BG,CG⊥AB,根據(jù)旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)得出△BGH和△CGK全等,將四邊形的面積轉(zhuǎn)化成△CHG的面積+△CGK的面積,根據(jù)全等得出△CHG的面積+△BGH的面積,即△ABC面積的一半;(2)連接HK,則BK=CK=x,CH=4-x,根據(jù)△GHK的面積=四邊形CHGK的面積-△CHK的面積求出函數(shù)關(guān)系式;(3)根據(jù)(2)中的結(jié)論列出一元二次方程,然后求出x的值.
試題解析:(1)在上述旋轉(zhuǎn)過程中,BH=CK,四邊形CHGK的面積不變。
證明:連接CG,
∵△ABC為等腰直角三角形,O(G)為其斜邊中點(diǎn),∴CG=BG,CG⊥AB,
∴∠ACG=∠B=45°,∵∠BGH與∠CGK均為旋轉(zhuǎn)角,∴∠BGH=∠CGK,
在△BGH與△CGK中,∠B=∠KCG,BG=CG, ∠BCG=∠CGK
∴△BGH≌△CGK(ASA), ∴BH=CK,△BGH的面積=△CGK的面積.
∴四邊形CHGK的面積=△CHG的面積+△CGK的面積=的面積△CHG+△BGH的面積=S△ABC=××4×4=4
即:四邊形CHGK的面積為4,是一個定值,在旋轉(zhuǎn)過程中沒有變化;
(2)∵AC=BC=4,BK=x,∴CH=4-x,CK=x,連接HK.
由△GHK的面積=四邊形CHGK的面積-△CHK的面積,得y=4-x(4-x)=-2x+4 由0°<α<90°,得到BH最大=BC=4,∴0<x<4;
(3)存在.根據(jù)題意,得-2x+4=×8 解這個方程,得=1,=3,
即:當(dāng)x=1或x=3時,△GHK的面積均等于△ABC的面積的。
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【題目】在菱形ABCD中,∠A=110°,E、F分別是邊AB和BC的中點(diǎn),EP⊥CD,垂足為P,則∠EPF=
A.35°B.45°C.50°D.55°
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【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,C為⊙O上一點(diǎn),AD與過點(diǎn)C的切線互相垂直,垂足為點(diǎn)D,AD交⊙O于點(diǎn)E,連接CE,CB.
(1)求證:CE=CB;
(2)若AC=,CE=,求AE的長.
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【題目】某校為了解本校九年級學(xué)生足球訓(xùn)練情況,隨機(jī)抽查該年級若干名學(xué)生進(jìn)行測試,然后把測試結(jié)果分為4個等級:A、B、C、D,并將統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.請根據(jù)圖中的信息解答下列問題:
(1)在這次調(diào)查中,一共調(diào)查了 名學(xué)生,扇形統(tǒng)計(jì)圖中,C等級對應(yīng)的扇形圓心角是 °.
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖.
(3)該年級共有900人,估計(jì)該年級足球測試成績?yōu)?/span>D等的人數(shù)為 人.
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【題目】如圖,把拋物線y=x2平移得到拋物線m,拋物線m經(jīng)過點(diǎn)A(﹣6,0)和原點(diǎn)O(0,0),它的頂點(diǎn)為P,它的對稱軸與拋物線y=x2交于點(diǎn)Q,則圖中陰影部分的面積為 ▲ .
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【題目】如圖所示,把一張長方形卡片ABCD放在每格寬度為12mm的橫格紙中,恰好四個頂點(diǎn)都在橫格線上,已知∠α=36°,則長方形卡片的周長為_____.(精確到1mm)(參考數(shù)據(jù):sin36°≈0.60,cos36°≈0.80,tan36°≈0.75)
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【題目】已知拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B(-1,0)和點(diǎn)C(2,3).
(1)求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)如果此拋物線上下平移后過點(diǎn)(-2,-1),請直接寫出平移的方向和平移的距離.
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【題目】如圖,學(xué)校準(zhǔn)備在教學(xué)樓后面搭建一簡易矩形自行車車棚,一邊利用教學(xué)樓的后墻(可利用的墻長為18m),另外三邊利用學(xué),,F(xiàn)有總長38m的鐵欄圍成.
(1)若圍成的面積為,試求出自行車車棚的長和寬;
(2)能圍成面積為的自行車車棚嗎?如果能,請你給出設(shè)計(jì)方案;如果不能,請說明理由.
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【題目】將一條長為40cm的鐵絲剪成兩段,并以每一段鐵絲的長度為周長做成一個正方形.
(1)要使這兩個正方形的面積之和等于52cm2,那么這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是多少?
(2)兩個正方形的面積之和可能等于48cm2嗎?若能,求出兩段鐵絲的長度;若不能,請說明理由.
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