Question

【題目】(12分)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分線AD交BC邊于點(diǎn)D.以AB上一點(diǎn)O為圓心作⊙O，使⊙O經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)D.

(1)判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．

(2)若AC＝3，∠B＝30°，①求⊙O的半徑；②設(shè)⊙O與AB邊的另一個(gè)交點(diǎn)為E，求線段BD，BE與劣弧DE所圍成的陰影部分的面積．(結(jié)果保留根號和π)

Answer 1

【答案】(1)相切 （2）半徑：2 面積：

【解析】試題分析：

（1）連結(jié)OD，根據(jù)平行線判定推出OD∥AC，推出OD⊥BC，根據(jù)切線的判定推出即可；

（2）①根據(jù)含有30°角的直角三角形的性質(zhì)得出OB=2OD=2r，AB=2AC=3r，從而求得半徑r的值；②根據(jù)S陰影=S△BOD-S扇形DOE求得即可.

試題解析：(1)相切．理由如下：

如圖，連接OD.

∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.

∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠BAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC.又∠C＝90°，∴OD⊥BC，∴BC與⊙O相切.

(2)①在Rt△ACB和Rt△ODB中，

∵AC＝3，∠B＝30°，∴AB＝6，OB＝2OD.

又OA＝OD＝r，∴OB＝2r，∴2r＋r＝6，解得r＝2，即⊙O的半徑是2.

②由①得OD＝2，則OB＝4，BD＝2，

S陰影＝S△BDO－S扇形CDE＝×2×2－＝2－π.