Question

如圖①，拋物線y=ax²+bx+5交x軸于A、B，交y軸于C，拋物線的頂點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為4，OA•OC=OB．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖②，若P為拋物線上一動點(diǎn)，PQ∥y軸交直線l：y=+9于點(diǎn)Q，以PQ為對角線作矩形且使得矩形的一邊在直線l上，問是否存在這樣一點(diǎn)P使得矩形的面積最小？若存在，求其最小值；若不存在，請說明理由
（3）如圖③，將直線向下平移m個單位（m＞9），設(shè)平移后的直線交拋物線于M、N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N左邊），M關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為M′，連接M′N，問M′N在x軸上的正投影是否為定值？若為定值，求其值；若不是定值，請說明理由．

Answer 1

解：（1）令x=0，則y=5，
所以，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，5），OC=5，
∵OA•OC=OB，
∴5OA=OB，
∴-5x_A=x_B，①
∵拋物線的頂點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為4，
∴=4，②
①、②聯(lián)立解得，x_A=-2，x_B=10，
∴點(diǎn)A（-2，0），B（10，0），
∵拋物線y=ax²+bx+5交x軸于A、B，
∴，
解得，
所以，拋物線解析式為y=-x²+2x+5；

（2）∵以PQ為對角線的矩形的一邊在直線l：y=x+9上，=5，
∴矩形的長、寬分別為PQ，PQ，
∴矩形的面積為PQ•PQ=PQ²，
∵點(diǎn)P在拋物線y=-x²+2x+5上，點(diǎn)Q在直線y=x+9上，
∴PQ=x_Q-x_P=x+9-（-x²+2x+5）=x²-x+4=（x²-5x+）-+4=（x-）²+，
∴當(dāng)x=時，PQ有最小值為，
故矩形面積的最小值為×（）²=；

（3）是定值5．
理由如下：設(shè)M′N在x軸上的正投影為EF，則EF等于點(diǎn)N的橫坐標(biāo)減去點(diǎn)M′的橫坐標(biāo)，
∵直線y=x+9向下平移m個單位，
∴平移后的直線解析式為y=x+9-m，
聯(lián)立，
消掉y得，x²-x+4-m=0，
∵點(diǎn)M與點(diǎn)M′關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∴點(diǎn)M′的橫坐標(biāo)與點(diǎn)M的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，
∴EF=-=5，是定值．
分析：（1）根據(jù)拋物線求出點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，5），從而得到OC的長度是5，然后得到點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是點(diǎn)A的橫坐標(biāo)的5倍，再根據(jù)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)列式求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答即可；
（2）根據(jù)直線l的解析式表示出矩形的長與寬與PQ的關(guān)系，然后表示出矩形的面積，再根據(jù)直線與拋物線的解析式表示出PQ，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求出PQ，再代入進(jìn)行計算即可得解；
（3）先表示出M′N在x軸上的正投影，再根據(jù)向下平移縱坐標(biāo)減表示出平移后的直線解析式，然后與拋物線聯(lián)立，消掉y得到關(guān)于x的一元二次方程，再根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)用點(diǎn)M的坐標(biāo)表示出點(diǎn)M′的橫坐標(biāo)，然后根據(jù)正投影的定義，表示出點(diǎn)M′N的橫坐標(biāo)的差值即可得解．
點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，矩形的面積，二次函數(shù)的最值問題，聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點(diǎn)，根與系數(shù)的關(guān)系，綜合性較強(qiáng)，（1）求出點(diǎn)A、B的關(guān)系式，（2）根據(jù)直線用PQ表示出矩形的長與寬，（3）根據(jù)點(diǎn)M、M′的橫坐標(biāo)的關(guān)系利用根與系數(shù)的關(guān)系判斷是解題的關(guān)鍵．