Question

已知二次函數(shù)的圖象是經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），B（3，0），E（0，6）三點(diǎn)的一條拋物線．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）如圖，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為C，對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D，在y軸正半軸上有一點(diǎn)P，且以A、O、P為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由拋物線與x軸的兩交點(diǎn)坐標(biāo)（1，0）（3，0）設(shè)出解析式y(tǒng)=a（x-1）（x-3），再把（0，6）代入求解a值即可．
（2）由拋物線的解析式先確定C、D兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由△AOP∽△ACD，求得P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)拋物線解析式為：y=a（x-1）（x-3），
∵過E（0，6），∴6=a×3，
∴a=2，
∴拋物線的解析式為：y=2x²-8x+6．

（2）y=2x²-8x+6=2（x²-4x+3）-2=2（x-2）²-2，
∴C（2，-2），對(duì)稱軸直線x=2，D（2，0）．
△ACD為直角三角形，AD=1，CD=2，OA=1．
當(dāng)△AOP∽△ACD時(shí)，

OA

AD

=

OP

CD

，

1

1

=

OP

2

，∴OP=2．
∵P在y軸正半軸上，∴P（0，2）．
當(dāng)△PAO∽△ACD時(shí)，

OA

CD

=

OP

AD

，

1

2

=

OP

1

，OP=

1

2

，
P在y軸正半軸上，∴P（0，

1

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)解析式的求法以及數(shù)形結(jié)合的思想．