Question

【題目】如圖，雙曲線y1＝與直線y2＝的圖象交于A、B兩點(diǎn)．已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，1），點(diǎn)P（a，b）是雙曲線y1＝上的任意一點(diǎn)，且0＜a＜4．

（1）分別求出y1、y2的函數(shù)表達(dá)式；

（2）連接PA、PB，得到△PAB，若4a＝b，求三角形ABP的面積；

（3）當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線y1＝上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)PB交x軸于點(diǎn)E，延長(zhǎng)PA交x軸于點(diǎn)F，判斷PE與PF的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）雙曲線y1＝；直線為y2＝x；（2）15；（3）PE＝PF，理由見(jiàn)解析．

【解析】

(1)根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；
(2)由P(，)在的圖象上，得到，再根據(jù)即可求得，根據(jù)題意求得B(，)，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥y軸交AB于點(diǎn)G，易得G(1，)，即可求得PG=，然后根據(jù)三角形面積公式即可求得；
(3)P是雙曲線上的點(diǎn)，得出P(，)，然后根據(jù)待定系數(shù)法求得直線PB的解析式，進(jìn)而求得E點(diǎn)的坐標(biāo)為(，0)，同理F點(diǎn)的坐標(biāo)為(，0)，它們到H點(diǎn)的距離相等，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可證得PE=PF．

(1)把點(diǎn)A(4，1)代入雙曲線得，

∴雙曲線的解析式為；

把點(diǎn)A(4，1)代入直線得，

∴直線的解析式為；

(2)∵點(diǎn)P(，)在的圖象上，

∴，

∵，

∴，則，

∵，

∴，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，4)，

又∵雙曲線與直線的圖象交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4，1)，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(，)，

過(guò)點(diǎn)P作PG∥y軸交AB于點(diǎn)G，如圖所示，

把代入，得到，

∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為(1，)，

∴PG，

∴PG(；

(3)PE=PF．理由如下：

∵點(diǎn)P(，)在的圖象上，

∴，

∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為(，)，

設(shè)直線PB的表達(dá)式為，

∴，

∴，

∴直線PB的表達(dá)式為，

當(dāng)時(shí)，，

∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為(，0)，

同理：直線PA的表達(dá)式為，

當(dāng)時(shí)，，

∴F點(diǎn)的坐標(biāo)為(，0)，

過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸于H，如圖所示，

∵P點(diǎn)坐標(biāo)為(，)，

∴H點(diǎn)的坐標(biāo)為(，0)，

∴EH，

FH，

∴EH=FH，

∴PE=PF．