Question

【題目】[建立模型]

(1)如圖1．等腰中， ， ，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，求證: ；

[模型應(yīng)用]

(2)如圖2．已知直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，將直線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45'°至直線，求直線的函數(shù)表達(dá)式:

(3)如圖3，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，BC⊥y軸于點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)且在第四象限內(nèi)．試探究能否成為等腰直角三角形?若能，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）直線l2的函數(shù)表達(dá)式為：y＝5x10；（3）點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，）或（4，7）或（，）．

【解析】

（1）由垂直的定義得∠ADC＝∠CEB＝90°，由同角的余角的相等得∠DAC＝∠ECB，然后利用角角邊證明△BEC≌△CDA即可；

（2）過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AB交AC于點(diǎn)C，CD⊥y軸交y軸于點(diǎn)D，由（1）可得△ABO≌△BCD（AAS），求出點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，5），然后利用待定系數(shù)法求直線l2的解析式即可；

（3）分情況討論：①若點(diǎn)P為直角時(shí)，②若點(diǎn)C為直角時(shí)，③若點(diǎn)D為直角時(shí)，分別建立（1）中全等三角形模型，表示出點(diǎn)D坐標(biāo)，然后根據(jù)點(diǎn)D在直線y＝2x＋1上進(jìn)行求解．

解：（1）∵AD⊥ED，BE⊥ED，

∴∠ADC＝∠CEB＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACD＋∠ECB＝∠ACD＋∠DAC＝90°，

∴∠DAC＝∠ECB，

在△CDA和△BEC中，，

∴△BEC≌△CDA（AAS）；

（2）過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AB交AC于點(diǎn)C，CD⊥y軸交y軸于點(diǎn)D，如圖2所示：

∵CD⊥y軸，

∴∠CDB＝∠BOA＝90°，

又∵BC⊥AB，

∴∠ABC＝90°，

又∵∠BAC＝45°，

∴AB＝CB，

由[建立模型]可知：△ABO≌△BCD（AAS），

∴AO＝BD，BO＝CD，

又∵直線l1：與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，

∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（2，0），（0，3），

∴AO＝2，BO＝3，

∴BD＝2，CD＝3，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，5），

設(shè)l2的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx＋b（k≠0），

代入A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)得：

解得：，

∴直線l2的函數(shù)表達(dá)式為：y＝5x10；

（3）能成為等腰直角三角形，

①若點(diǎn)P為直角時(shí)，如圖3-1所示，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥OC于M，過(guò)點(diǎn)D作DH垂直于MP的延長(zhǎng)線于H，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，m），則PB的長(zhǎng)為4＋m，

∵∠CPD＝90°，CP＝PD，∠PMC＝∠DHP＝90°，

∴由[建立模型]可得：△MCP≌△HPD（AAS），

∴CM＝PH，PM＝DH，

∴PH＝CM＝PB＝4＋m，PM＝DH＝3，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（7＋m，3＋m），

又∵點(diǎn)D在直線y＝2x＋1上，

∴2（7＋m）＋1＝3＋m，

解得：m＝，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，）；

②若點(diǎn)C為直角時(shí)，如圖3-2所示，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥OC交OC于H，PM⊥OC于M，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，n），則PB的長(zhǎng)為4＋n，

∵∠PCD＝90°，CP＝CD，∠PMC＝∠DHC＝90°，

由[建立模型]可得：△PCM≌△CDH（AAS），

∴PM＝CH，MC＝HD，

∴PM＝CH＝3，HD＝MC＝PB＝4＋n，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4＋n，7），

又∵點(diǎn)D在直線y＝2x＋1上，

∴2（4＋n）＋1＝7，

解得：n＝0，

∴點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，點(diǎn)M與點(diǎn)O重合，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，7）；

③若點(diǎn)D為直角時(shí)，如圖3-3所示，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥OC于M，延長(zhǎng)PB交MD延長(zhǎng)線于Q，則∠Q＝90°，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，k），則PB的長(zhǎng)為4＋k，

∵∠PDC＝90°，PD＝CD，∠PQD＝∠DMC＝90°，

由[建立模型]可得：△CDM≌△DPQ（AAS），

∴MD＝PQ，MC＝DQ，

∴MC＝DQ＝BQ，

∴3－DQ＝4＋k＋DQ，

∴DQ＝，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，），

又∵點(diǎn)D在直線y＝2x＋1上，

∴，

解得：k＝，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，）；

綜合所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，）或（4，7）或（，）．