Question

【題目】(1)如圖（1）在RtΔABC中，∠ACB=900,∠B=600，在圖中作出∠ACB的三等分線(xiàn)CD,CE.（要求：尺規(guī)作圖，保留痕跡，不定作法）

(2)由（1）知，我們可以用尺規(guī)作出直角的三等分線(xiàn)，但是僅僅使用尺規(guī)卻不能把任意一個(gè)角分成三等分，為此，人們發(fā)明了許多等分角的機(jī)械器具，如圖（2）是用三張硬紙片自制的一個(gè)最簡(jiǎn)單的三分角器，與半圓O相接的AB帶的長(zhǎng)度與半圓的半徑相等：BD帶的長(zhǎng)度任意，它的一邊與直線(xiàn)AC形成一個(gè)直角，且志半圓相切于點(diǎn)B，假設(shè)需要將∠KSM三等分，如圖（3），首先將角的頂點(diǎn)S置于BD上，角的一邊SK經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，另一邊SM與半圓相切，連接SO，則SB,SO為∠KSM的三等分線(xiàn)，請(qǐng)你證明。

圖（1） 圖（2） 圖（3）

Answer 1

【答案】見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）如圖射線(xiàn)CD、CE為所求是三等分線(xiàn)；
（2）如圖，設(shè)SM與半圓O相切于點(diǎn)N，連接ON．則∠ONS=90°，只要證明△SBA≌△SBO，△SOB≌△SON，即可解決問(wèn)題；

試題解析：

（1）如圖射線(xiàn)CD、CE為所求是三等分線(xiàn)．

（2）如圖，設(shè)SM與半圓O相切于點(diǎn)N，連接ON．則∠ONS=90°，

∵DB⊥AC，DB與半圓相切于點(diǎn)BM，
∴∠ABS=∠OBS=90°，
∵BA=BO．SB=SB，
∴△SBA≌△SBO，
∴∠ASB=∠BSO，
∵SO=SO．OB=ON，∠SBO=∠SNO，
∴△SBO≌△SNO，
∴∠BSO=∠OSN，
∴∠ASB=∠BSO=∠OSC，
∴SB，SO為∠KSM的三等分線(xiàn)．