Question

如圖，拋物線y=ax²-4ax+c交x軸于A、B兩點，交y軸于C點，點D（4，-3）在拋物線上，且四邊形ABDC的面積為18．
（1）求拋物線的函數關系式；
（2）若正比例函數y=kx的圖象將四邊形ABDC的面積分為1：2的兩部分，求k的值；
（3）將△AOC沿x軸翻折得到△AOC′，問：是否存在這樣的點P，以P為位似中心，將△AOC′放大為原來的兩倍后得到△EPG（即△EPG∽△AOC′，且相似比為2），使得點E、G恰好在拋物線上？若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由拋物線解析式可知拋物線對稱軸為x=2，根據對稱性可求C點坐標，則四邊形ABDC為等腰梯形，CD=4，OC=3，由已知四邊形面積可求AB=8，根據等腰梯形的性質可求A點坐標，將A、C兩點坐標代入拋物線解析式即可；
（2）由（1）可知S_{四邊形ABDC}=18，S_△OBD=9，則S_△OBD=

1

2

S_{四邊形ABDC}，分①直線y=kx與邊BD相交，②直線y=kx與邊CD相交，兩種情況求k的值；
（3）存在．翻折后點C′（0，3），由圖形的位似及相似比為2，按照①同向放大，②反向放大，兩種情況，根據C′為PG的中點，由相似比求P、E、G的坐標．

解答：解：（1）∵y=ax²-4ax+c=a（x-2）²-4a+c，
∴拋物線的對稱軸為直線x=2．（1分）
∵點D（4，-3）在拋物線上，∴由對稱性知C（0，-3）．（2分）
∴四邊形ABCD為梯形．
由四邊形ABDC的面積為18、CD=4，OC=3得AB=8，∴A（-2，0）．（3分）
由A（-2，0）、C（0，-3）得y=

1

4

x²-x-3．（4分）

（2）∵S_{四邊形ABDC}=18，S_△OBD=9，
∴S_△OBD=

1

2

S_{四邊形ABDC}，
∴只可能出現兩種情形：
①直線y=kx與邊BD相交于點E，且S_△OBE=

1

3

S_{四邊形ABDC}=

1

3

×18=6；
∵OB=6，
∴點E到OB的距離為2，
直線BD的解析式為y=

3

2

x-9，
令y=-2，則x=

14

3

，
∴E點坐標為（

14

3

，-2）
把E（

14

3

，-2）代入y=kx得k=-

3

7

；
②直線y=kx與邊CD相交于點F，且S_{四邊形OBDF}=

2

3

S_{四邊形ABDC}=

2

3

×18=12（5分）；
∵OB=6，
∴DF=2，
∴F點坐標為（2，-3），
把F（2，-3）代入y=kx得k=-

3

2

．
（3）翻折后點C′（0，3），由圖形的位似及相似比為2，可得：
∵根據位似得平行k相等設解析式，
直線AC′的解析式為：y=kx+b，
∴

-2k+b=0 b=3

，
解得：

k=1.5 b=3

，
∴y=1.5x+3，
∴直線EG的解析式為：y=1.5x+c，
∴兩函數交點坐標為：

y= 1 4 x2-x-3 y=1.5x+c

，
∴整理可得出：x²-10x-12-4c=0，
∴x₁+x₂=10，
∵圖形的位似及相似比為2，
∴EN=2AO=4，GN=2C′O=6，
∴x₂-x₁=4，
解得：x₂=7，x₁=3，
∴E點橫坐標為：3，進而得出縱坐標為：-

15

4

，
或E點橫坐標為：7，進而得出縱坐標為：

9

4

，
即可得出：
①若為同向放大，則E（3，-

15

4

）、G（7，

9

4

）；（8分）
②若為反向放大，則E（7，

9

4

）、G（3，-

15

4

）．（9分）
若為情形①，則P（-7，

15

4

）；（10分）
若為情形②，
則P（1，

3

4

）．（11分）

點評：本題考查了二次函數的綜合運用．關鍵是根據拋物線的對稱性，判斷四邊形ABDC為等腰梯形，求頂點坐標，確定拋物線解析式，再根據面積關系確定P點坐標．