Question

把一張矩形紙片ABCD按如圖方式折疊，使頂點(diǎn)B和點(diǎn)D重合，折痕為EF．若AB = 3 cm，BC =4 cm．
（1）求線段DF的長(zhǎng)；
（2）連接BE，求證：四邊形BFDE是菱形；
（3）求線段EF的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）；（2）證明見解析；（3）.

試題分析：（1）由折疊知，BF=DF．在Rt△DCF中，利用勾股定理可求得，DF的長(zhǎng)；
（2）利用翻折變換的性質(zhì)得出∠2=∠3，BE=DE，BF=DF，進(jìn)而利用等腰三角形的性質(zhì)得出三條邊相等即可；
（3）本題可利用相似解決，由于折疊，可知BD⊥EF，利用直角三角形相似的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊成比例求得結(jié)果．
（1）由折疊知，BF=DF．
設(shè)BF=x,則DF=x，CF=4-x,CD=AB=3
在Rt△DCF中，利用勾股定理得：x²-(4-x)²=3²
解得：x=.
（2）連接BE，

∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，
∵將一張矩形紙片（矩形ABCD）按如圖方式折疊，使頂點(diǎn)B和D重合，
∴∠2=∠3，BE=DE，BF=DF，
∴∠1=∠3，
∴ED=DF=DE=BF，
∴四邊形EBFD是菱形；
（3）連接BD，得BD=5cm，利用，易得EF=cm.