Question

【題目】如圖 ，在平面直角坐標系中 ，已知二次函數y=ax2+bx+c (a≠0)

的圖象經過 A（-1，0），B（3，0），C（6，4）三點.

（1）求此二次函數解析式和頂點 D 的坐標；

（2）①E為拋物線對稱軸上一點，過點E作FG//x 軸，分別交拋物線于F、G兩點 ，若，求點E的坐標；

② 若拋物線對稱軸上點 H 到直線 BC 的距離等于點 H 到 x 軸的距離，則求出點 H

的坐標；

（3）在（2）的條件下，以點I（1，）為圓心，IH 的長為半徑作⊙I，J 為⊙I上的動點,求是否存在一個定值，使得 CJ+EJ 的最小值是若不存在，請說明理由.若存在，請求出的值；

Answer 1

【答案】（1）y=（x+1）（x-3），對稱軸為x=1，頂點坐標D（1，）（2）、.（3）存在定值，使得

【解析】分析：用待定系數法求出二次函數解析式，再求出頂點坐標即可.

分兩種情況進行討論即可.

假設存在，在對稱軸上取點K（1，3），則，,故 ，證明△IJE∽△IKJ，得到，即，

從而，當且僅當K、J、C三點共線時，取得最小值.

詳解：（1）設拋物線解析式為，則有

，解得，

故拋物線解析式為，對稱軸為，頂點坐標D（1，）.

（2）①設E（1，t），則有

，

即

故 ，

即，由，解得，

∴，解得，故E（1，）.

②如圖，作∠ABC的平分線與對稱軸x=1的交點即為符合題意的H點，記為H1；

在x軸上取點R（-2,0），連結RC交∠ABC的平分線BH1于Q，則有RB=5；

過點C作CN⊥x軸交x軸于點N，

在Rt△BCN中，∵BN=3，CN=4，∴BC=5，∴BC=RB，

在△BCR中，∵BC=RB，BQ平分∠ABC，

∴Q為RC中點

∵R(-2，0),C(6，4) ∴Q（2,2），

∵B（3，0），∴過點B、Q兩點的

一次函數解析式為

當x=1時，y=4. 故H1（1，4）

如圖，過點B作交對稱軸于點H2，則點H2符合題意，記對稱軸于x軸交于點T.

∵即

∵，

∵∠BTH2=∠H1TB,∴Rt△BTH2∽Rt△H1TB，

∴即

解得即H2（1，-1）

綜上，、.

（3）存在定值，使得. 理由如下：

如圖，在對稱軸上取點K（1，3），則

，,

故 ，∵∠JIE=∠KIJ,

∴△IJE∽△IKJ，

∴，即，

從而，當且僅當K、J、C三點共線時， ，即，

故存在定值，使得.