【題目】如圖1,點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)O作射線OC,使∠BOC=120°.將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處,一邊OM在射線OB上,另一邊ON在直線AB的下方.

(1)將圖1中的三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2,使一邊OM在∠BOC的內(nèi)部,且恰好平分∠BOC.問(wèn):此時(shí)直線ON是否平分∠AOC?請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2)將圖1中的三角板繞點(diǎn)O以每秒6°的速度沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周,在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中,第t秒時(shí),直線ON恰好平分銳角∠AOC,則t的值為(直接寫(xiě)出結(jié)果).
(3)將圖1中的三角板繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖3,使ON在∠AOC的內(nèi)部,求∠AOM﹣∠NOC的度數(shù).

【答案】
(1)解:直線ON平分∠AOC.理由:

設(shè)ON的反向延長(zhǎng)線為OD,

∵OM平分∠BOC,

∴∠MOC=∠MOB,

又∵OM⊥ON,

∴∠MOD=∠MON=90°,

∴∠COD=∠BON,

又∵∠AOD=∠BON(對(duì)頂角相等),

∴∠COD=∠AOD,

∴OD平分∠AOC,

即直線ON平分∠AOC


(2)10或40
(3)解:∵∠MON=90°,∠AOC=60°,

∴∠AOM=90°﹣∠AON、∠NOC=60°﹣∠AON,

∴∠AOM﹣∠NOC=(90°﹣∠AON)﹣(60°﹣∠AON)=30°


【解析】解:(2)∵∠BOC=120°

∴∠AOC=60°,

∴∠BON=∠COD=30°,

即旋轉(zhuǎn)60°時(shí)ON平分∠AOC,

由題意得,6t=60°或240°,

∴t=10或40;

(1)根據(jù)角平分線的定義得出∠MOC=∠MOB,再根據(jù)同角的余角相等得出∠COD=∠BON,然后根據(jù)對(duì)頂角相等及等量代換得出結(jié)論。
(2)根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出∠AOC的度數(shù),則∠BON=30°,因此旋轉(zhuǎn)60°或240°時(shí)ON平分∠AOC,從而得出6t=60°或240°,即可求得t的值。
(3)根據(jù)已知易得∠AOC=60°,而∠AOM=90°﹣∠AON,∠NOC=60°﹣∠AON,再求差即可求得結(jié)果。

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