Question

【題目】已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)M、N，AH⊥MN于點(diǎn)H．
（1）如圖①，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時(shí)，請(qǐng)你直接寫出AH與AB的數(shù)量關(guān)系：；
（2）如圖②，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時(shí)，（1）中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果不成立請(qǐng)寫出理由，如果成立請(qǐng)證明；
（3）如圖③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于點(diǎn)H，且MH=2，NH=3，求AH的長(zhǎng)．（可利用（2）得到的結(jié)論）

Answer 1

【答案】
（1）AH=AB
（2）數(shù)量關(guān)系成立．如圖②，延長(zhǎng)CB至E，使BE=DN．

∵ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠D=∠ABE=90°，

在Rt△AEB和Rt△AND中， ，

∴Rt△AEB≌Rt△AND，

∴AE=AN，∠EAB=∠NAD，

∴∠EAM=∠NAM=45°，

在△AEM和△ANM中， ，

∴△AEM≌△ANM．

∴S△AEM=S△ANM，EM=MN，

∵AB、AH是△AEM和△ANM對(duì)應(yīng)邊上的高，

∴AB=AH．

（3）如圖③分別沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，

∴BM=2，DN=3，∠B=∠D=∠BAD=90°．

分別延長(zhǎng)BM和DN交于點(diǎn)C，得正方形ABCD，

由（2）可知，AH=AB=BC=CD=AD．

設(shè)AH=x，則MC=x﹣2，NC=x﹣3，

在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN2=MC2+NC2

∴52=（x﹣2）2+（x﹣3）2（6分）

解得x1=6，x2=﹣1．（不符合題意，舍去）

∴AH=6．

【解析】解：（1）如圖①AH=AB． （1）由三角形全等可以證明AH=AB，（2）延長(zhǎng)CB至E，使BE=DN，證明△AEM≌△ANM，能得到AH=AB，（3）分別沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，然后分別延長(zhǎng)BM和DN交于點(diǎn)C，得正方形ABCE，設(shè)AH=x，則MC=x﹣2，NC=x﹣3，在Rt△MCN中，由勾股定理，解得x．